Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)] - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) - - \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.6

Multipliez.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + 1 \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.6.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) - (\sin (x) - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + (- \sin (x) - - \cos (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.4.1

Associez les termes opposés dans $\sin (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) - \sin (x) \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 3.8.4.1.1

Soustrayez $\sin (x) \cos (x)$ de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 0 - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.4.1.2

Additionnez $\sin (x) \sin (x)$ et $0$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.4.2.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 3.8.4.2.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.4.2.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.4.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.4.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.4.2.2

Multipliez $- - \cos (x)$ .

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Étape 3.8.4.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.4.2.2.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.4.2.3

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 3.8.4.2.3.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.4.2.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.4.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.4.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.4.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.8.5

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ à $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \csc^{2} (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc^{2} (x)$