Calcul infinitésimal Exemples

$y = \tan^{2} (\sin (x))$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan^{2} (\sin (x)))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (\sin (x))$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tan (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tan (\sin (x))$ .

$2 \tan (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (\sin (x))]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (x)$ .

$2 \tan (\sin (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec^{2} (u_{2})$ .

$2 \tan (\sin (x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (x)$ .

$2 \tan (\sin (x)) (\sec^{2} (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \tan (\sin (x)) \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x)$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réorganisez les facteurs de $2 \tan (\sin (x)) \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x)$ .

$2 \sec^{2} (\sin (x)) \cos (x) \tan (\sin (x))$

Étape 3.4.2

Réécrivez $\sec (\sin (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 {(\frac{1}{\cos (\sin (x))})}^{2} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Étape 3.4.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Étape 3.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Étape 3.4.5

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos^{2} (\sin (x))}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x))} \cos (x) \tan (\sin (x))$

Étape 3.4.6

Associez $\frac{2}{\cos^{2} (\sin (x))}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

Étape 3.4.7

Réécrivez $\tan (\sin (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$

Étape 3.4.8

Associez.

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Étape 3.4.9

Multipliez $\cos^{2} (\sin (x))$ par $\cos (\sin (x))$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.9.1

Multipliez $\cos^{2} (\sin (x))$ par $\cos (\sin (x))$ .

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Étape 3.4.9.1.1

Élevez $\cos (\sin (x))$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x)) \cos^{1} (\sin (x))}$

Étape 3.4.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{{\cos (\sin (x))}^{2 + 1}}$

Étape 3.4.9.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{3} (\sin (x))}$

Étape 3.4.10

Factorisez $\cos (\sin (x))$ à partir de $\cos^{3} (\sin (x))$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos^{2} (\sin (x))}$

Étape 3.4.11

Séparez les fractions.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$

Étape 3.4.12

Réécrivez $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ comme un produit.

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Étape 3.4.13

Écrivez $\cos (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Étape 3.4.14

Simplifiez

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Étape 3.4.14.1

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Étape 3.4.14.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ à $\sec (\sin (x))$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Étape 3.4.15

Factorisez $\cos (\sin (x))$ à partir de $\cos^{2} (\sin (x))$ .

$\frac{2 \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Étape 3.4.16

Séparez les fractions.

$\frac{2}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Étape 3.4.17

Convertissez de $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ à $\tan (\sin (x))$ .

$\frac{2}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Étape 3.4.18

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Étape 3.4.19

Convertissez de $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ à $\sec (\sin (x))$ .

$\frac{2}{1} \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Étape 3.4.20

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Étape 3.4.21

Multipliez $2 \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) (\cos (x) \sec (\sin (x)))$ .

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Étape 3.4.21.1

Élevez $\sec (\sin (x))$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{1} (\sin (x)) \sec (\sin (x))) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Étape 3.4.21.2

Élevez $\sec (\sin (x))$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{1} (\sin (x)) \sec^{1} (\sin (x))) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Étape 3.4.21.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {\sec (\sin (x))}^{1 + 1} \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Étape 3.4.21.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \sec^{2} (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$