Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\sec (2 x)}{1 + \tan (2 x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sec (2 x)}{1 + \tan (2 x)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sec (2 x)$ et $g (x) = 1 + \tan (2 x)$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $(1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x)) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \tan (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.3.6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.5

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - {\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - \sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x) \cdot 1}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.11

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{2 (1 + \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12

Simplifiez

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Étape 3.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \tan (2 x)) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 \cdot 1 \sec (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x)) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.12.4.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.1.2

Multipliez $2 \tan (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

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Étape 3.12.4.1.2.1

Élevez $\tan (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.1.2.2

Élevez $\tan (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.2

Factorisez $2 \sec (2 x)$ à partir de $2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)$ .

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Étape 3.12.4.2.1

Factorisez $2 \sec (2 x)$ à partir de $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.2.2

Factorisez $2 \sec (2 x)$ à partir de $2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\tan^{2} (2 x)) - 2 \sec^{3} (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.2.3

Factorisez $2 \sec (2 x)$ à partir de $- 2 \sec^{3} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\tan^{2} (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- \sec^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.2.4

Factorisez $2 \sec (2 x)$ à partir de $2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (\tan^{2} (2 x))$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \tan^{2} (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- \sec^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.2.5

Factorisez $2 \sec (2 x)$ à partir de $2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \tan^{2} (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- \sec^{2} (2 x))$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.3

Remettez dans l’ordre $\tan^{2} (2 x)$ et $- \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - \sec^{2} (2 x) + \tan^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x)) + \tan^{2} (2 x))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\tan^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x)) - 1 (- \tan^{2} (2 x)))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sec^{2} (2 x)) - 1 (- \tan^{2} (2 x))$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - (\sec^{2} (2 x) - \tan^{2} (2 x)))}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 2 \sec (2 x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.4.10

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.5

Factorisez $2 \sec (2 x)$ à partir de $2 \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x)$ .

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Étape 3.12.5.1

Factorisez $2 \sec (2 x)$ à partir de $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) - 2 \sec (2 x)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.5.2

Factorisez $2 \sec (2 x)$ à partir de $- 2 \sec (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 3.12.5.3

Factorisez $2 \sec (2 x)$ à partir de $2 \sec (2 x) (\tan (2 x)) + 2 \sec (2 x) (- 1)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sec (2 x) (\tan (2 x) - 1)}{{(1 + \tan (2 x))}^{2}}$