Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{7 - (\frac{5}{x})}$

Étape 1

Multipliez $- 1$ par $\frac{5}{x}$ .

$y = e^{7 - \frac{5}{x}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{7 - \frac{5}{x}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 7 - \frac{5}{x}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 - \frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 - \frac{5}{x}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Étape 4.2

Différenciez.

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Étape 4.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - \frac{5}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

Étape 4.2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

Étape 4.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 4.2.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5}{x}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 4.2.5

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Étape 4.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 (- x^{- 2}))$

Étape 4.2.7

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 x^{- 2})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 \frac{1}{x^{2}})$

Étape 4.3.2

Associez des termes.

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Étape 4.3.2.1

Associez $5$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{5}{x^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Associez $e^{7 - \frac{5}{x}}$ et $\frac{5}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{7 - \frac{5}{x}} \cdot 5}{x^{2}}$

Étape 4.3.2.3

Déplacez $5$ à gauche de $e^{7 - \frac{5}{x}}$ .

$\frac{5 e^{7 - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.1

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{5 e^{\frac{7 x}{x} - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

Étape 4.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$