Calcul infinitésimal Exemples

Trouver l'aire entre les courbes y=x , y=x^3 , x=0 , x=1
, , ,
Étape 1
Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.
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Étape 1.1
Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.
Étape 1.2
Résolvez pour .
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Étape 1.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.2
Factorisez le côté gauche de l’équation.
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Étape 1.2.2.1
Factorisez à partir de .
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Étape 1.2.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 1.2.2.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.2.2
Réécrivez comme .
Étape 1.2.2.3
Factorisez.
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Étape 1.2.2.3.1
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, et .
Étape 1.2.2.3.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 1.2.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 1.2.4
Définissez égal à .
Étape 1.2.5
Définissez égal à et résolvez .
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Étape 1.2.5.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.5.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.6
Définissez égal à et résolvez .
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Étape 1.2.6.1
Définissez égal à .
Étape 1.2.6.2
Résolvez pour .
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Étape 1.2.6.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.2.6.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
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Étape 1.2.6.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.2.6.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 1.2.6.2.2.2.1
La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.
Étape 1.2.6.2.2.2.2
Divisez par .
Étape 1.2.6.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
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Étape 1.2.6.2.2.3.1
Divisez par .
Étape 1.2.7
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 1.3
Évaluez quand .
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Étape 1.3.1
Remplacez par .
Étape 1.3.2
Remplacez par dans et résolvez .
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Étape 1.3.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 1.3.2.2
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 1.4
Évaluez quand .
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Étape 1.4.1
Remplacez par .
Étape 1.4.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.5
Évaluez quand .
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Étape 1.5.1
Remplacez par .
Étape 1.5.2
Remplacez par dans et résolvez .
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Étape 1.5.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 1.5.2.2
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 1.6
La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.
Étape 2
L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.
Étape 3
Intégrez pour déterminer l’aire entre et .
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Étape 3.1
Associez les intégrales en une intégrale unique.
Étape 3.2
Multipliez par .
Étape 3.3
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 3.4
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 3.5
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 3.6
Selon la règle de puissance, l’intégrale de par rapport à est .
Étape 3.7
Simplifiez la réponse.
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Étape 3.7.1
Associez et .
Étape 3.7.2
Remplacez et simplifiez.
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Étape 3.7.2.1
Évaluez sur et sur .
Étape 3.7.2.2
Évaluez sur et sur .
Étape 3.7.2.3
Simplifiez
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Étape 3.7.2.3.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 3.7.2.3.2
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.3
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 3.7.2.3.4
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.5
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.6
Additionnez et .
Étape 3.7.2.3.7
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 3.7.2.3.8
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 3.7.2.3.9
Annulez le facteur commun à et .
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Étape 3.7.2.3.9.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.7.2.3.9.2
Annulez les facteurs communs.
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Étape 3.7.2.3.9.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 3.7.2.3.9.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 3.7.2.3.9.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3.7.2.3.9.2.4
Divisez par .
Étape 3.7.2.3.10
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.11
Additionnez et .
Étape 3.7.2.3.12
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 3.7.2.3.13
Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun , en multipliant chacun par un facteur approprié de .
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Étape 3.7.2.3.13.1
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.13.2
Multipliez par .
Étape 3.7.2.3.14
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.7.2.3.15
Soustrayez de .
Étape 4