Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2 \cot (x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2 \cot (x)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $x^{2 \cot (x)}$ comme $e^{\ln (x^{2 \cot (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 \cot (x)})}]$

Étape 3.1.2

Développez $\ln (x^{2 \cot (x)})$ en déplaçant $2 \cot (x)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{2 \cot (x) \ln (x)}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 \cot (x) \ln (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 \cot (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \ln (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \ln (x)]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 \cot (x) \ln (x)$ .

$e^{2 \cot (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [2 \cot (x) \ln (x)]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cot (x) \ln (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (x)]$ .

$e^{2 \cot (x) \ln (x)} (2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (x)])$

Étape 3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 \cot (x) \ln (x)}$ .

$2 \cdot e^{2 \cot (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (x)]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\cot (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 3.5

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\cot (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 3.6

Associez $\cot (x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\frac{\cot (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 3.7

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\frac{\cot (x)}{x} + \ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \frac{\cot (x)}{x} + 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

Étape 3.8.2

Associez des termes.

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Étape 3.8.2.1

Associez $\frac{\cot (x)}{x}$ et $2$ .

$\frac{\cot (x) \cdot 2}{x} e^{2 \cot (x) \ln (x)} + 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

Étape 3.8.2.2

Associez $\frac{\cot (x) \cdot 2}{x}$ et $e^{2 \cot (x) \ln (x)}$ .

$\frac{\cot (x) \cdot 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x} + 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

Étape 3.8.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $\cot (x)$ .

$\frac{2 \cdot \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x} + 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \csc^{2} (x)))$

Étape 3.8.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x} - 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \ln (x) \csc^{2} (x)$

Étape 3.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \csc^{2} (x) \ln (x) + \frac{2 \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \csc^{2} (x) \ln (x) + \frac{2 \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{2 \cot (x) \ln (x)} \csc^{2} (x) \ln (x) + \frac{2 \cot (x) e^{2 \cot (x) \ln (x)}}{x}$