Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\tan (x))$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\tan (x)))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 3.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 3.4

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 3.5

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\cot (x) \sec^{2} (x)$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Réorganisez les facteurs de $\cot (x) \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \cot (x)$

Étape 3.6.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x)$

Étape 3.6.3

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.6.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.6.5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.6.5.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.6.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.6.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 3.6.6

Multipliez $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 3.6.7

Séparez les fractions.

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 3.6.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \sec (x)$

Étape 3.6.9

Séparez les fractions.

$\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Étape 3.6.10

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$\frac{1^{2}}{1} \csc (x) \sec (x)$

Étape 3.6.11

Divisez $1^{2}$ par $1$ .

$1^{2} \csc (x) \sec (x)$

Étape 3.6.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 \csc (x) \sec (x)$

Étape 3.6.13

Multipliez $\csc (x)$ par $1$ .

$\csc (x) \sec (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \csc (x) \sec (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) \sec (x)$