Calcul infinitésimal Exemples

$y = \tan (\cos (x))$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan (\cos (x)))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Réorganisez les facteurs de $\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$ .

$- \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\sec (\cos (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$- {(\frac{1}{\cos (\cos (x))})}^{2} \sin (x)$

Étape 3.3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ .

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x)$

Étape 3.3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x)$

Étape 3.3.5

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (\cos (x))}$

Étape 3.3.6

Factorisez $\cos (\cos (x))$ à partir de $\cos^{2} (\cos (x))$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x)) \cos (\cos (x))}$

Étape 3.3.7

Séparez les fractions.

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))})$

Étape 3.3.8

Réécrivez $\frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))}$ comme un produit.

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Étape 3.3.9

Écrivez $\sin (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Étape 3.3.10

Simplifiez

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Étape 3.3.10.1

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Étape 3.3.10.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ à $\sec (\cos (x))$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \sec (\cos (x))))$

Étape 3.3.11

Convertissez de $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ à $\sec (\cos (x))$ .

$- (\sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x))))$

Étape 3.3.12

Multipliez $\sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x)))$ .

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Étape 3.3.12.1

Élevez $\sec (\cos (x))$ à la puissance $1$ .

$- (\sec^{1} (\cos (x)) \sec (\cos (x)) \sin (x))$

Étape 3.3.12.2

Élevez $\sec (\cos (x))$ à la puissance $1$ .

$- (\sec^{1} (\cos (x)) \sec^{1} (\cos (x)) \sin (x))$

Étape 3.3.12.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- ({\sec (\cos (x))}^{1 + 1} \sin (x))$

Étape 3.3.12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (\sec^{2} (\cos (x)) \sin (x))$

$- \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$