Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 \cos (x) \tan (x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos (x) \tan (x))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \cos (x) \tan (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x)))$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x)) + 5 (\tan (x) (- \sin (x)))$

Étape 3.5.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$5 \cos (x) \sec^{2} (x) - 5 \tan (x) \sin (x)$

Étape 3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 \sec^{2} (x) \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Étape 3.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Étape 3.5.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Étape 3.5.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Étape 3.5.4.4

Associez $5$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{5}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Étape 3.5.4.5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.5.4.5.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Étape 3.5.4.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Étape 3.5.4.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \tan (x)$

Étape 3.5.4.6

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.5.4.7

Multipliez $- 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 3.5.4.7.1

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $- 5$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)} \sin (x)$

Étape 3.5.4.7.2

Associez $\frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5 \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.5.4.7.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

Étape 3.5.4.7.4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

Étape 3.5.4.7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Étape 3.5.4.7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.5.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{\cos (x)} - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.5.6

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (1) - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.5.7

Factorisez $5$ à partir de $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Étape 3.5.8

Factorisez $5$ à partir de $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{5 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Étape 3.5.9

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{5 \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.5.10

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

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Étape 3.5.10.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $5 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x)}$

Étape 3.5.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.10.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Étape 3.5.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Étape 3.5.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \cos (x)}{1}$

Étape 3.5.10.2.4

Divisez $5 \cos (x)$ par $1$ .

$5 \cos (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 5 \cos (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 \cos (x)$