Calcul infinitésimal Exemples

$z = x^{3} e^{x y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{3} e^{x y})$

Étape 2

La dérivée de $z$ par rapport à $y$ est $z'$ .

$z'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{3} e^{x y}$ par rapport à $y$ est $x^{3} \frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [e^{x y}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$x^{3} (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y])$

Étape 3.3

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y]))$

Étape 3.4

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{3} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

Étape 3.4.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{3} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

Étape 3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 3} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

Étape 3.4.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{4} (e^{x y} (\frac{d}{d y} [y]))$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} (e^{x y} \cdot 1)$

Étape 3.6

Multipliez $e^{x y}$ par $1$ .

$x^{4} e^{x y}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$z' = x^{4} e^{x y}$

Étape 5

Remplacez $z'$ par $\frac{d z}{d y}$ .

$\frac{d z}{d y} = x^{4} e^{x y}$