Calcul infinitésimal Exemples

$y = 19 z^{2} + \frac{1}{5 z}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (19 z^{2} + \frac{1}{5 z})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $19 z^{2} + \frac{1}{5 z}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [19 z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$ .

$\frac{d}{d y} [19 z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [19 z^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $19$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $19 z^{2}$ par rapport à $y$ est $19 \frac{d}{d y} [z^{2}]$ .

$19 \frac{d}{d y} [z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $z$ .

$19 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$19 (2 u \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $z$ .

$19 (2 z \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [z]$ comme $z'$ .

$19 (2 z z') + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Étape 3.2.4

Multipliez $2$ par $19$ .

$38 z z' + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{5 z}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{z}]$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{z}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = 1$ et $g (y) = z$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [z]}{z^{2}}$

Étape 3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [z]}{z^{2}}$

Étape 3.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [z]$ comme $z'$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \cdot 0 - 1 \cdot 1 z'}{z^{2}}$

Étape 3.3.5

Multipliez $z$ par $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 z'}{z^{2}}$

Étape 3.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{0 - z'}{z^{2}}$

Étape 3.3.7

Soustrayez $z'$ de $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{- z'}{z^{2}}$

Étape 3.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$38 z z' + \frac{1}{5} (- \frac{z'}{z^{2}})$

Étape 3.3.9

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{z'}{z^{2}}$ .

$38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}}$

Étape 5

Résolvez $z'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ .

$38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, 5 z^{2}, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$5 z^{2}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ par $5 z^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ par $5 z^{2}$ .

$38 z z' (5 z^{2}) - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Multipliez $z$ par $z^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1.1

Déplacez $z^{2}$ .

$38 (z^{2} z) z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Étape 5.3.2.1.1.2

Multipliez $z^{2}$ par $z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1.2.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$38 (z^{2} z^{1}) z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Étape 5.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$38 z^{2 + 1} z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Étape 5.3.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$38 z^{3} z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $5$ par $38$ .

$190 z^{3} z' - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Étape 5.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $5 z^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{z'}{5 z^{2}}$ dans le numérateur.

$190 z^{3} z' + \frac{- z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Étape 5.3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$190 z^{3} z' + \frac{- z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Étape 5.3.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$190 z^{3} z' - z' = 1 (5 z^{2})$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Multipliez $5 z^{2}$ par $1$ .

$190 z^{3} z' - z' = 5 z^{2}$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Factorisez $z'$ à partir de $190 z^{3} z' - z'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1

Factorisez $z'$ à partir de $190 z^{3} z'$ .

$z' (190 z^{3}) - z' = 5 z^{2}$

Étape 5.4.1.2

Factorisez $z'$ à partir de $- z'$ .

$z' (190 z^{3}) + z' \cdot - 1 = 5 z^{2}$

Étape 5.4.1.3

Factorisez $z'$ à partir de $z' (190 z^{3}) + z' \cdot - 1$ .

$z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$

Étape 5.4.2

Divisez chaque terme dans $z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$ par $190 z^{3} - 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$ par $190 z^{3} - 1$ .

$\frac{z' (190 z^{3} - 1)}{190 z^{3} - 1} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $190 z^{3} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{z' (190 z^{3} - 1)}{190 z^{3} - 1} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Divisez $z'$ par $1$ .

$z' = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Étape 6

Remplacez $z'$ par $\frac{d z}{d y}$ .

$\frac{d z}{d y} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$