Calcul infinitésimal Exemples

$z = (t - 1) (t + 1)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (z) = \frac{d}{d t} ((t - 1) (t + 1))$

Étape 2

La dérivée de $z$ par rapport à $t$ est $z'$ .

$z'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t - 1$ et $g (t) = t + 1$ .

$(t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1] + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1]) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Étape 3.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(t - 1) (1 + 0) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(t - 1) \cdot 1 + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $t - 1$ par $1$ .

$t - 1 + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Étape 3.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$t - 1 + (t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$t - 1 + (t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 3.2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$t - 1 + (t + 1) (1 + 0)$

Étape 3.2.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$t - 1 + (t + 1) \cdot 1$

Étape 3.2.8.2

Multipliez $t + 1$ par $1$ .

$t - 1 + t + 1$

Étape 3.2.8.3

Additionnez $t$ et $t$ .

$2 t - 1 + 1$

Étape 3.2.8.4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.8.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$2 t + 0$

Étape 3.2.8.4.2

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$2 t$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$z' = 2 t$

Étape 5

Remplacez $z'$ par $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{d z}{d t} = 2 t$