Calcul infinitésimal Exemples

$z = \frac{y}{y - x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (\frac{y}{y - x})$

Étape 2

La dérivée de $z$ par rapport à $x$ est $z'$ .

$z'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{y}{y - x}$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y - x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y - x}]$

Étape 3.1.2

Réécrivez $\frac{1}{y - x}$ comme ${(y - x)}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(y - x)}^{- 1}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = y - x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y - x$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [y - x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [y - x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y - x$ .

$y (- {(y - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [y - x])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$y (- {(y - x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 3.3.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y (- {(y - x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 3.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$y (- {(y - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (- {(y - x)}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.3.5

Multipliez.

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Étape 3.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y (1 {(y - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.5.2

Multipliez ${(y - x)}^{- 2}$ par $1$ .

$y ({(y - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y ({(y - x)}^{- 2} \cdot 1)$

Étape 3.3.7

Multipliez ${(y - x)}^{- 2}$ par $1$ .

$y {(y - x)}^{- 2}$

Étape 3.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y \frac{1}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Associez $y$ et $\frac{1}{{(y - x)}^{2}}$ .

$\frac{y}{{(y - x)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$z' = \frac{y}{{(- x + y)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $z'$ par $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{y}{{(- x + y)}^{2}}$