Calcul infinitésimal Exemples

$z = (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} ((2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y})$

Étape 2

La dérivée de $z$ par rapport à $x$ est $z'$ .

$z'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 x + 3 y$ et $g (x) = e^{4 x + 5 y}$ .

$(2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [e^{4 x + 5 y}] + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x + 5 y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x + 5 y$ .

$(2 x + 3 y) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(2 x + 3 y) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x + 5 y$ .

$(2 x + 3 y) (e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 5 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Étape 3.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Étape 3.3.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (4 + \frac{d}{d x} [5 y]) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Étape 3.3.5

Comme $5 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} (4 + 0) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Étape 3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} \cdot 4 + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Étape 3.3.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $(2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y}$ .

$4 \cdot ((2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y}) + e^{4 x + 5 y} \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Étape 3.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Étape 3.3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Étape 3.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Étape 3.3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (2 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Étape 3.3.11

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} (2 + 0)$

Étape 3.3.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.12.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + e^{4 x + 5 y} \cdot 2$

Étape 3.3.12.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{4 x + 5 y}$ .

$4 (2 x + 3 y) e^{4 x + 5 y} + 2 \cdot e^{4 x + 5 y}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 (2 x) + 4 (3 y)) e^{4 x + 5 y} + 2 e^{4 x + 5 y}$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$(8 x + 4 (3 y)) e^{4 x + 5 y} + 2 e^{4 x + 5 y}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$(8 x + 12 y) e^{4 x + 5 y} + 2 e^{4 x + 5 y}$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{4 x + 5 y} (8 x + 12 y) + 2 e^{4 x + 5 y}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$z' = e^{4 x + 5 y} (8 x + 12 y) + 2 e^{4 x + 5 y}$

Étape 5

Remplacez $z'$ par $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = e^{4 x + 5 y} (8 x + 12 y) + 2 e^{4 x + 5 y}$