Calcul infinitésimal Exemples

$z = \frac{\ln (3.4 x^{4} + 7.1)}{y + 3.7}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (3.4 x^{4} + 7.1)}{y + 3.7})$

Étape 2

La dérivée de $z$ par rapport à $x$ est $z'$ .

$z'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $\frac{1}{y + 3.7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{\ln (3.4 x^{4} + 7.1)}{y + 3.7}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{y + 3.7} \frac{d}{d x} [\ln (3.4 x^{4} + 7.1)]$ .

$\frac{1}{y + 3.7} \frac{d}{d x} [\ln (3.4 x^{4} + 7.1)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3.4 x^{4} + 7.1$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3.4 x^{4} + 7.1$ .

$\frac{1}{y + 3.7} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{y + 3.7} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3.4 x^{4} + 7.1$ .

$\frac{1}{y + 3.7} (\frac{1}{3.4 x^{4} + 7.1} \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{1}{3.4 x^{4} + 7.1}$ par $\frac{1}{y + 3.7}$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1]$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3.4 x^{4} + 7.1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3.4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7.1]$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (\frac{d}{d x} [3.4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7.1])$

Étape 3.3.3

Comme $3.4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3.4 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3.4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (3.4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7.1])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (3.4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [7.1])$

Étape 3.3.5

Multipliez $4$ par $3.4$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (13.6 x^{3} + \frac{d}{d x} [7.1])$

Étape 3.3.6

Comme $7.1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7.1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (13.6 x^{3} + 0)$

Étape 3.3.7

Associez les fractions.

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Étape 3.3.7.1

Additionnez $13.6 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (13.6 x^{3})$

Étape 3.3.7.2

Associez $13.6$ et $\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)}$ .

$\frac{13.6}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} x^{3}$

Étape 3.3.7.3

Associez $\frac{13.6}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)}$ et $x^{3}$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Factorisez $0.1$ à partir de $3.4 x^{4} + 7.1$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $0.1$ à partir de $3.4 x^{4}$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{(0.1 (34 x^{4}) + 7.1) (y + 3.7)}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $0.1$ à partir de $7.1$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{(0.1 (34 x^{4}) + 0.1 (71)) (y + 3.7)}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (34 x^{4}) + 0.1 (71)$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{0.1 (34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Étape 3.4.2

Factorisez $13.6$ à partir de $13.6 x^{3}$ .

$\frac{13.6 (x^{3})}{0.1 (34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Étape 3.4.3

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (34 x^{4} + 71) (y + 3.7)$ .

$\frac{13.6 (x^{3})}{0.1 ((34 x^{4} + 71) (y + 3.7))}$

Étape 3.4.4

Séparez les fractions.

$\frac{13.6}{0.1} \cdot \frac{x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Étape 3.4.5

Divisez $13.6$ par $0.1$ .

$136 \frac{x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Étape 3.4.6

Associez $136$ et $\frac{x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$ .

$\frac{136 x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$z' = \frac{136 x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Étape 5

Remplacez $z'$ par $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{136 x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$