Calcul infinitésimal Exemples

$y = p^{\sqrt{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [p^{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = p$ et $g = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [p] (x^{\frac{1}{2}} p^{x^{\frac{1}{2}} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Étape 3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $p$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $p$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 (x^{\frac{1}{2}} p^{x^{\frac{1}{2}} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $0$ .

$0 p^{x^{\frac{1}{2}} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Étape 3.2.2

Multipliez $0$ par $p^{x^{\frac{1}{2}} - 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Étape 3.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Étape 10

Associez $p^{x^{\frac{1}{2}}}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{p^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} \ln (p)$

Étape 11

Associez $\frac{p^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $\ln (p)$ .

$\frac{p^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} \ln (p)}{2}$

Étape 12

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$