Calcul infinitésimal Exemples

$y = - e^{- x} + 7 \log_{3} (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- e^{- x} + 7 \log_{3} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- e^{- x}] + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}] + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$- (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Étape 2.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Étape 2.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$- - e^{- x} + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Étape 2.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Étape 2.9

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$e^{- x} + \frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 \log_{3} (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 \log_{3} (x)$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]$ .

$e^{- x} + 7 \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\log_{3} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x \ln (3)}$ .

$e^{- x} + 7 \frac{1}{x \ln (3)}$

Étape 3.3

Associez $7$ et $\frac{1}{x \ln (3)}$ .

$e^{- x} + \frac{7}{x \ln (3)}$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{7}{x \ln (3)} + e^{- x}$