Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{2 x}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{2 x}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{3}{\sqrt{2 x}}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(2 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.4

Comme $\frac{3}{2^{\frac{1}{2}}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 3.8

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 3.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 3.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 3.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 3.14

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 3.15

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Étape 3.16

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.16.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Étape 3.16.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Étape 3.16.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Étape 3.16.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Étape 3.16.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.16.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Étape 3.16.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Étape 3.16.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 3.17

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 3.18

Multipliez $\frac{3}{2^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Étape 3.19

Multipliez $2^{\frac{1}{2}}$ par $2$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.19.1

Déplacez $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.19.2

Multipliez $2$ par $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.19.2.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.19.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.19.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.19.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.19.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3}{2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$