Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x}{2 x - 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez $2 x - 1$ par $1$ .

$\frac{2 x - 1 - x \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 x - 1 - x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x - 1 - x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 x - 1 - x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 x - 1 - x (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 x - 1 - x (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.8.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2 x - 1 - x \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.8.3

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.8.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.4.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 2.8.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$