Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} \sqrt{x} - \frac{5}{x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} \sqrt{x} - \frac{5}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [x^{2 + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 2.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 2.2.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 2.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 2.2.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5}{x}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 (- x^{- 2})$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{- 2}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 5 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.2

Associez $5$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Étape 4.3

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5}{x^{2}}$