Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} \sqrt{4 x - 3}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 x - 3}$ comme ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 x - 3$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 3$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{{(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 8.3

Placez ${(4 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 3] + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 12

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 13

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0) + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 14

Simplifiez les termes.

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Étape 14.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4 + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 14.2

Associez $\frac{x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $4$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 14.3

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2}}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 14.4

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2})}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 15

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x^{2})}{2 ({(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x^{2})}{2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Étape 17

Déplacez $2$ à gauche de ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} x$

Étape 18

Associez $\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2 {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} x$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 18.1

Déplacez ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 18.2

Pour écrire $2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19

Multipliez ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.1

Déplacez ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x ({(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 19.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x {(4 x - 3)}^{1}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 20

Simplifiez $2 x {(4 x - 3)}^{1}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x (4 x - 3)}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21

Simplifiez

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Étape 21.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 2 x (4 x) + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 21.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 4 x \cdot x + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 21.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 4 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 4 x^{2} + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.2.1.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x^{2} + 2 x \cdot - 3}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x^{2} - 6 x}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.2.2

Additionnez $2 x^{2}$ et $8 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} - 6 x}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.3

Factorisez $2 x$ à partir de $10 x^{2} - 6 x$ .

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Étape 21.3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $10 x^{2}$ .

$\frac{2 x (5 x) - 6 x}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.3.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{2 x (5 x) + 2 x (- 3)}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 21.3.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (5 x) + 2 x (- 3)$ .

$\frac{2 x (5 x - 3)}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$