Calcul infinitésimal Exemples

$e^{4 x} + e^{- x}$

Étape 1

Écrivez $e^{4 x} + e^{- x}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{4 x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.2.5

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 2.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 2.1.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 2.1.3.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 e^{4 x} - e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

Étape 3.2

Déplacez $- e^{- x}$ du côté droit de l’équation en l’ajoutant des deux côtés.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Réécrivez $\ln (4 e^{4 x})$ comme $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Étape 3.4.2

Développez $\ln (e^{4 x})$ en déplaçant $4 x$ hors du logarithme.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Étape 3.4.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Étape 3.4.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

Étape 3.5

Développez le côté droit.

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Étape 3.5.1

Développez $\ln (e^{- x})$ en déplaçant $- x$ hors du logarithme.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

Étape 3.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

Étape 3.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x$

Étape 3.6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.6.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

Étape 3.6.2

Additionnez $4 x$ et $x$ .

$\ln (4) + 5 x = 0$

Étape 3.7

Soustrayez $\ln (4)$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - \ln (4)$

Étape 3.8

Divisez chaque terme dans $5 x = - \ln (4)$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.8.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - \ln (4)$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Étape 3.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Étape 3.8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

Étape 3.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- \frac{\ln (4)}{5}$ .

$- \frac{\ln (4)}{5}$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ augmente et diminue est $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.27725887$ dans l’expression.

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{4 (- 1.27725887)} - e^{- (- 1.27725887)}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{- 5.10903548} - e^{- (- 1.27725887)}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 (\frac{1}{e^{5.10903548}}) - e^{- (- 1.27725887)}$

Étape 6.2.1.3

Associez $4$ et $\frac{1}{e^{5.10903548}}$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{- (- 1.27725887)}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$ .

$\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

Étape 6.3

Simplifiez

$- 3.56262674$

Étape 6.4

Sur $x = - 1.27725887$ la dérivée est $- 3.56262674$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ .

Diminue sur $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.72274112$ dans l’expression.

$f' (0.72274112) = 4 e^{4 (0.72274112)} - e^{- (0.72274112)}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $4$ par $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- (0.72274112)}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- 0.72274112}$

Étape 7.2.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

Étape 7.2.2

La réponse finale est $4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$ .

$4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

Étape 7.3

Simplifiez

$71.55727104$

Étape 7.4

Sur $x = 0.72274112$ la dérivée est $71.55727104$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

Augmente sur $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$

Étape 9