Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} \cos (8 x^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (8 x^{2})$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (8 x^{2})] + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 8 x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x^{2}$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [8 x^{2}]) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$x^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [8 x^{2}]) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x^{2}$ .

$x^{3} (- \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [8 x^{2}]) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (- \sin (8 x^{2}) (8 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$x^{3} (- 8 \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} (- 8 \sin (8 x^{2}) (2 x)) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$x^{3} (- 16 \sin (8 x^{2}) x) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $x$ .

$x \cdot x^{3} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{3} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 3} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$x^{4} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{4} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) (3 x^{2})$

Étape 6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 16 x^{4} \sin (8 x^{2}) + 3 x^{2} \cos (8 x^{2})$