Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 \sin (x) \csc (x^{2})$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sin (x) \csc (x^{2})$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \csc (x^{2})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \csc (x^{2})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \csc (x^{2})$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})] + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$4 (\sin (x) (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.2

La dérivée de $\csc (u)$ par rapport à $u$ est $- \csc (u) \cot (u)$ .

$4 (\sin (x) (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$4 (\sin (x) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (\sin (x) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) (2 x)) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x) + \csc (x^{2}) \cos (x))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x)) + 4 (\csc (x^{2}) \cos (x))$

Étape 6.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- 8 \sin (x) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x + 4 \csc (x^{2}) \cos (x)$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 8 x \cot (x^{2}) \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Étape 6.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1

Réécrivez $\cot (x^{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 8 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Étape 6.4.2

Multipliez $- 8 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

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Étape 6.4.2.1

Associez $- 8$ et $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$x \frac{- 8 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Étape 6.4.2.2

Associez $x$ et $\frac{- 8 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{x (- 8 \cos (x^{2}))}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Étape 6.4.3

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 8 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Étape 6.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Étape 6.4.5

Réécrivez $\csc (x^{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Étape 6.4.6

Multipliez $- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

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Étape 6.4.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ par $\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Étape 6.4.6.2

Élevez $\sin (x^{2})$ à la puissance $1$ .

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Étape 6.4.6.3

Élevez $\sin (x^{2})$ à la puissance $1$ .

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Étape 6.4.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{{\sin (x^{2})}^{1 + 1}} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Étape 6.4.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Étape 6.4.7

Associez $\sin (x)$ et $\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})}$ .

$- \frac{\sin (x) (8 x \cos (x^{2}))}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Étape 6.4.8

Déplacez $8$ à gauche de $\sin (x)$ .

$- \frac{8 \cdot \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Étape 6.4.9

Réécrivez $\csc (x^{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})}$

Étape 6.4.10

Multipliez $4 \cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

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Étape 6.4.10.1

Associez $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ et $4$ .

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + \frac{4}{\sin (x^{2})} \cos (x)$

Étape 6.4.10.2

Associez $\frac{4}{\sin (x^{2})}$ et $\cos (x)$ .

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Étape 6.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.1

Factorisez $\sin (x^{2})$ à partir de $\sin^{2} (x^{2})$ .

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Étape 6.5.2

Séparez les fractions.

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x^{2})}) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Étape 6.5.3

Réécrivez $\frac{\sin (x)}{\sin (x^{2})}$ comme un produit.

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Étape 6.5.4

Écrivez $\sin (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Étape 6.5.5

Simplifiez

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Étape 6.5.5.1

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Étape 6.5.5.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ à $\csc (x^{2})$ .

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Étape 6.5.6

Séparez les fractions.

$- (\frac{8 x}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Étape 6.5.7

Convertissez de $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ à $\cot (x^{2})$ .

$- (\frac{8 x}{1} \cot (x^{2}) (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Étape 6.5.8

Divisez $8 x$ par $1$ .

$- (8 x \cot (x^{2}) (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Étape 6.5.9

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$- 8 (x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Étape 6.5.10

Séparez les fractions.

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Étape 6.5.11

Réécrivez $\frac{\cos (x)}{\sin (x^{2})}$ comme un produit.

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})$

Étape 6.5.12

Écrivez $\cos (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})})$

Étape 6.5.13

Simplifiez

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Étape 6.5.13.1

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})$

Étape 6.5.13.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ à $\csc (x^{2})$ .

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \csc (x^{2}))$

Étape 6.5.14

Divisez $4$ par $1$ .

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$