Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 x^{2} \sin (x) + 10 x \cos (x) - 10 \sin (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} \sin (x) + 10 x \cos (x) - 10 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [10 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [10 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2} \sin (x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [10 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [10 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Étape 2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [10 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [10 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x \cos (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x \cos (x)$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 10 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 10 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 10 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 10 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Étape 3.5

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 10 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 10 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$5 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 10 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 10 \cos (x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x^{2} \cos (x)) + 5 (\sin (x) (2 x)) + 10 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 10 \cos (x)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x^{2} \cos (x)) + 5 (\sin (x) (2 x)) + 10 (x (- \sin (x))) + 10 \cos (x) - 10 \cos (x)$

Étape 5.3

Associez des termes.

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Étape 5.3.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$5 x^{2} \cos (x) + 10 (\sin (x) (x)) + 10 (x (- \sin (x))) + 10 \cos (x) - 10 \cos (x)$

Étape 5.3.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$5 x^{2} \cos (x) + 10 \sin (x) x - 10 (x (\sin (x))) + 10 \cos (x) - 10 \cos (x)$

Étape 5.3.3

Soustrayez $10 x \sin (x)$ de $10 \sin (x) x$ .

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Étape 5.3.3.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$5 x^{2} \cos (x) + 10 x \sin (x) - 10 x \sin (x) + 10 \cos (x) - 10 \cos (x)$

Étape 5.3.3.2

Soustrayez $10 x \sin (x)$ de $10 x \sin (x)$ .

$5 x^{2} \cos (x) + 0 + 10 \cos (x) - 10 \cos (x)$

Étape 5.3.4

Additionnez $5 x^{2} \cos (x)$ et $0$ .

$5 x^{2} \cos (x) + 10 \cos (x) - 10 \cos (x)$

Étape 5.3.5

Soustrayez $10 \cos (x)$ de $10 \cos (x)$ .

$5 x^{2} \cos (x) + 0$

Étape 5.3.6

Additionnez $5 x^{2} \cos (x)$ et $0$ .

$5 x^{2} \cos (x)$