Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 {(3 x + 1)}^{4} {(5 x - 3)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(5 x - 3)}^{2}$ comme $(5 x - 3) (5 x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x + 1)}^{4} ((5 x - 3) (5 x - 3))]$

Étape 2

Développez $(5 x - 3) (5 x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x + 1)}^{4} (5 x (5 x - 3) - 3 (5 x - 3))]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x + 1)}^{4} (5 x (5 x) + 5 x \cdot - 3 - 3 (5 x - 3))]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x + 1)}^{4} (5 x (5 x) + 5 x \cdot - 3 - 3 (5 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x + 1)}^{4} (5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot - 3 - 3 (5 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x + 1)}^{4} (5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 3 - 3 (5 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x + 1)}^{4} (5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot - 3 - 3 (5 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x + 1)}^{4} (25 x^{2} + 5 x \cdot - 3 - 3 (5 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x + 1)}^{4} (25 x^{2} - 15 x - 3 (5 x) - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3.1.5

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x + 1)}^{4} (25 x^{2} - 15 x - 15 x - 3 \cdot - 3)]$

Étape 3.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x + 1)}^{4} (25 x^{2} - 15 x - 15 x + 9)]$

Étape 3.2

Soustrayez $15 x$ de $- 15 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x + 1)}^{4} (25 x^{2} - 30 x + 9)]$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 {(3 x + 1)}^{4} (25 x^{2} - 30 x + 9)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4} (25 x^{2} - 30 x + 9)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4} (25 x^{2} - 30 x + 9)]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(3 x + 1)}^{4}$ et $g (x) = 25 x^{2} - 30 x + 9$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 30 x + 9] + (25 x^{2} - 30 x + 9) \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4}])$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 x^{2} - 30 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (25 x^{2} - 30 x + 9) \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4}])$

Étape 6.2

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25 x^{2}$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (25 x^{2} - 30 x + 9) \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4}])$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (25 x^{2} - 30 x + 9) \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4}])$

Étape 6.4

Multipliez $2$ par $25$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (25 x^{2} - 30 x + 9) \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4}])$

Étape 6.5

Comme $- 30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 30 x$ par rapport à $x$ est $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (25 x^{2} - 30 x + 9) \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4}])$

Étape 6.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (25 x^{2} - 30 x + 9) \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4}])$

Étape 6.7

Multipliez $- 30$ par $1$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30 + \frac{d}{d x} [9]) + (25 x^{2} - 30 x + 9) \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4}])$

Étape 6.8

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30 + 0) + (25 x^{2} - 30 x + 9) \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4}])$

Étape 6.9

Additionnez $50 x - 30$ et $0$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + (25 x^{2} - 30 x + 9) \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4}])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 3 x + 1$ .

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Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x + 1$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + (25 x^{2} - 30 x + 9) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Étape 7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + (25 x^{2} - 30 x + 9) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 1$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + (25 x^{2} - 30 x + 9) (4 {(3 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1]))$

Étape 8

Différenciez.

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Étape 8.1

Déplacez $4$ à gauche de $25 x^{2} - 30 x + 9$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + 4 \cdot (25 x^{2} - 30 x + 9) {(3 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + 4 (25 x^{2} - 30 x + 9) {(3 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 8.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + 4 (25 x^{2} - 30 x + 9) {(3 x + 1)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 8.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + 4 (25 x^{2} - 30 x + 9) {(3 x + 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 8.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + 4 (25 x^{2} - 30 x + 9) {(3 x + 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 8.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + 4 (25 x^{2} - 30 x + 9) {(3 x + 1)}^{3} (3 + 0))$

Étape 8.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + 4 (25 x^{2} - 30 x + 9) {(3 x + 1)}^{3} \cdot 3)$

Étape 8.7.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + 12 (25 x^{2} - 30 x + 9) {(3 x + 1)}^{3})$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + (12 (25 x^{2}) + 12 (- 30 x) + 12 \cdot 9) {(3 x + 1)}^{3})$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 ({(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30)) + 2 ((12 (25 x^{2}) + 12 (- 30 x) + 12 \cdot 9) {(3 x + 1)}^{3})$

Étape 9.3

Multipliez $25$ par $12$ .

$2 {(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + 2 ((300 x^{2} + 12 (- 30 x) + 12 \cdot 9) {(3 x + 1)}^{3})$

Étape 9.4

Multipliez $- 30$ par $12$ .

$2 {(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + 2 ((300 x^{2} - 360 x + 12 \cdot 9) {(3 x + 1)}^{3})$

Étape 9.5

Multipliez $12$ par $9$ .

$2 {(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + 2 ((300 x^{2} - 360 x + 108) {(3 x + 1)}^{3})$

Étape 9.6

Factorisez $2 {(3 x + 1)}^{3}$ à partir de $2 {(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30) + 2 (300 x^{2} - 360 x + 108) {(3 x + 1)}^{3}$ .

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Étape 9.6.1

Factorisez $2 {(3 x + 1)}^{3}$ à partir de $2 {(3 x + 1)}^{4} (50 x - 30)$ .

$2 {(3 x + 1)}^{3} ((3 x + 1) (50 x - 30)) + 2 (300 x^{2} - 360 x + 108) {(3 x + 1)}^{3}$

Étape 9.6.2

Factorisez $2 {(3 x + 1)}^{3}$ à partir de $2 (300 x^{2} - 360 x + 108) {(3 x + 1)}^{3}$ .

$2 {(3 x + 1)}^{3} ((3 x + 1) (50 x - 30)) + 2 {(3 x + 1)}^{3} (300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.6.3

Factorisez $2 {(3 x + 1)}^{3}$ à partir de $2 {(3 x + 1)}^{3} ((3 x + 1) (50 x - 30)) + 2 {(3 x + 1)}^{3} (300 x^{2} - 360 x + 108)$ .

$2 {(3 x + 1)}^{3} ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.7

Utilisez le théorème du binôme.

$2 ({(3 x)}^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot 1 + 3 (3 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.8.1

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$2 (3^{3} x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot 1 + 3 (3 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.8.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$2 (27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot 1 + 3 (3 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.8.3

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$2 (27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 (3 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.8.4

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.8.4.1

Déplacez $3^{2}$ .

$2 (27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} \cdot 1 + 3 (3 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.8.4.2

Multipliez $3^{2}$ par $3$ .

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Étape 9.8.4.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$2 (27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} \cdot 1 + 3 (3 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.8.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot 1 + 3 (3 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.8.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 (27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot 1 + 3 (3 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.8.5

Simplifiez $3^{3} x^{2} \cdot 1$ .

$2 (27 x^{3} + 3^{3} x^{2} + 3 (3 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.8.6

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$2 (27 x^{3} + 27 x^{2} + 3 (3 x) \cdot 1^{2} + 1^{3}) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.8.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$2 (27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.8.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x \cdot 1 + 1^{3}) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.8.9

Multipliez $9$ par $1$ .

$2 (27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x + 1^{3}) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.8.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (27 x^{3} + 27 x^{2} + 9 x + 1) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.9

Appliquez la propriété distributive.

$(2 (27 x^{3}) + 2 (27 x^{2}) + 2 (9 x) + 2 \cdot 1) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.10

Simplifiez

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Étape 9.10.1

Multipliez $27$ par $2$ .

$(54 x^{3} + 2 (27 x^{2}) + 2 (9 x) + 2 \cdot 1) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.10.2

Multipliez $27$ par $2$ .

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 2 (9 x) + 2 \cdot 1) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.10.3

Multipliez $9$ par $2$ .

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2 \cdot 1) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.10.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2) ((3 x + 1) (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.11.1

Développez $(3 x + 1) (50 x - 30)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.11.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2) (3 x (50 x - 30) + 1 (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.11.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2) (3 x (50 x) + 3 x \cdot - 30 + 1 (50 x - 30) + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.11.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2) (3 x (50 x) + 3 x \cdot - 30 + 1 (50 x) + 1 \cdot - 30 + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.11.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.11.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2) (3 \cdot 50 x \cdot x + 3 x \cdot - 30 + 1 (50 x) + 1 \cdot - 30 + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.11.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.11.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2) (3 \cdot 50 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 30 + 1 (50 x) + 1 \cdot - 30 + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.11.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2) (3 \cdot 50 x^{2} + 3 x \cdot - 30 + 1 (50 x) + 1 \cdot - 30 + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.11.2.1.3

Multipliez $3$ par $50$ .

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2) (150 x^{2} + 3 x \cdot - 30 + 1 (50 x) + 1 \cdot - 30 + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.11.2.1.4

Multipliez $- 30$ par $3$ .

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2) (150 x^{2} - 90 x + 1 (50 x) + 1 \cdot - 30 + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.11.2.1.5

Multipliez $50 x$ par $1$ .

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2) (150 x^{2} - 90 x + 50 x + 1 \cdot - 30 + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.11.2.1.6

Multipliez $- 30$ par $1$ .

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2) (150 x^{2} - 90 x + 50 x - 30 + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.11.2.2

Additionnez $- 90 x$ et $50 x$ .

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2) (150 x^{2} - 40 x - 30 + 300 x^{2} - 360 x + 108)$

Étape 9.12

Additionnez $150 x^{2}$ et $300 x^{2}$ .

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2) (450 x^{2} - 40 x - 30 - 360 x + 108)$

Étape 9.13

Soustrayez $360 x$ de $- 40 x$ .

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2) (450 x^{2} - 400 x - 30 + 108)$

Étape 9.14

Additionnez $- 30$ et $108$ .

$(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2) (450 x^{2} - 400 x + 78)$

Étape 9.15

Développez $(54 x^{3} + 54 x^{2} + 18 x + 2) (450 x^{2} - 400 x + 78)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$54 x^{3} (450 x^{2}) + 54 x^{3} (- 400 x) + 54 x^{3} \cdot 78 + 54 x^{2} (450 x^{2}) + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.16.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$54 \cdot 450 x^{3} x^{2} + 54 x^{3} (- 400 x) + 54 x^{3} \cdot 78 + 54 x^{2} (450 x^{2}) + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.16.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$54 \cdot 450 (x^{2} x^{3}) + 54 x^{3} (- 400 x) + 54 x^{3} \cdot 78 + 54 x^{2} (450 x^{2}) + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$54 \cdot 450 x^{2 + 3} + 54 x^{3} (- 400 x) + 54 x^{3} \cdot 78 + 54 x^{2} (450 x^{2}) + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.2.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$54 \cdot 450 x^{5} + 54 x^{3} (- 400 x) + 54 x^{3} \cdot 78 + 54 x^{2} (450 x^{2}) + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.3

Multipliez $54$ par $450$ .

$24300 x^{5} + 54 x^{3} (- 400 x) + 54 x^{3} \cdot 78 + 54 x^{2} (450 x^{2}) + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24300 x^{5} + 54 \cdot - 400 x^{3} x + 54 x^{3} \cdot 78 + 54 x^{2} (450 x^{2}) + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.5

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.16.5.1

Déplacez $x$ .

$24300 x^{5} + 54 \cdot - 400 (x \cdot x^{3}) + 54 x^{3} \cdot 78 + 54 x^{2} (450 x^{2}) + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.5.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 9.16.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$24300 x^{5} + 54 \cdot - 400 (x^{1} x^{3}) + 54 x^{3} \cdot 78 + 54 x^{2} (450 x^{2}) + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24300 x^{5} + 54 \cdot - 400 x^{1 + 3} + 54 x^{3} \cdot 78 + 54 x^{2} (450 x^{2}) + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.5.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$24300 x^{5} + 54 \cdot - 400 x^{4} + 54 x^{3} \cdot 78 + 54 x^{2} (450 x^{2}) + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.6

Multipliez $54$ par $- 400$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 54 x^{3} \cdot 78 + 54 x^{2} (450 x^{2}) + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.7

Multipliez $78$ par $54$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 54 x^{2} (450 x^{2}) + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 54 \cdot 450 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.9

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.16.9.1

Déplacez $x^{2}$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 54 \cdot 450 (x^{2} x^{2}) + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 54 \cdot 450 x^{2 + 2} + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.9.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 54 \cdot 450 x^{4} + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.10

Multipliez $54$ par $450$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} + 54 x^{2} (- 400 x) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} + 54 \cdot - 400 x^{2} x + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.12

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.16.12.1

Déplacez $x$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} + 54 \cdot - 400 (x \cdot x^{2}) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.12.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 9.16.12.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} + 54 \cdot - 400 (x^{1} x^{2}) + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} + 54 \cdot - 400 x^{1 + 2} + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.12.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} + 54 \cdot - 400 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.13

Multipliez $54$ par $- 400$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} - 21600 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 78 + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.14

Multipliez $78$ par $54$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} - 21600 x^{3} + 4212 x^{2} + 18 x (450 x^{2}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.15

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} - 21600 x^{3} + 4212 x^{2} + 18 \cdot 450 x \cdot x^{2} + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.16

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.16.16.1

Déplacez $x^{2}$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} - 21600 x^{3} + 4212 x^{2} + 18 \cdot 450 (x^{2} x) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.16.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 9.16.16.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} - 21600 x^{3} + 4212 x^{2} + 18 \cdot 450 (x^{2} x^{1}) + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.16.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} - 21600 x^{3} + 4212 x^{2} + 18 \cdot 450 x^{2 + 1} + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.16.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} - 21600 x^{3} + 4212 x^{2} + 18 \cdot 450 x^{3} + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.17

Multipliez $18$ par $450$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} - 21600 x^{3} + 4212 x^{2} + 8100 x^{3} + 18 x (- 400 x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.18

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} - 21600 x^{3} + 4212 x^{2} + 8100 x^{3} + 18 \cdot - 400 x \cdot x + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.19

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.16.19.1

Déplacez $x$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} - 21600 x^{3} + 4212 x^{2} + 8100 x^{3} + 18 \cdot - 400 (x \cdot x) + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.19.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} - 21600 x^{3} + 4212 x^{2} + 8100 x^{3} + 18 \cdot - 400 x^{2} + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.20

Multipliez $18$ par $- 400$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} - 21600 x^{3} + 4212 x^{2} + 8100 x^{3} - 7200 x^{2} + 18 x \cdot 78 + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.21

Multipliez $78$ par $18$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} - 21600 x^{3} + 4212 x^{2} + 8100 x^{3} - 7200 x^{2} + 1404 x + 2 (450 x^{2}) + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.22

Multipliez $450$ par $2$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} - 21600 x^{3} + 4212 x^{2} + 8100 x^{3} - 7200 x^{2} + 1404 x + 900 x^{2} + 2 (- 400 x) + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.23

Multipliez $- 400$ par $2$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} - 21600 x^{3} + 4212 x^{2} + 8100 x^{3} - 7200 x^{2} + 1404 x + 900 x^{2} - 800 x + 2 \cdot 78$

Étape 9.16.24

Multipliez $2$ par $78$ .

$24300 x^{5} - 21600 x^{4} + 4212 x^{3} + 24300 x^{4} - 21600 x^{3} + 4212 x^{2} + 8100 x^{3} - 7200 x^{2} + 1404 x + 900 x^{2} - 800 x + 156$

Étape 9.17

Additionnez $- 21600 x^{4}$ et $24300 x^{4}$ .

$24300 x^{5} + 2700 x^{4} + 4212 x^{3} - 21600 x^{3} + 4212 x^{2} + 8100 x^{3} - 7200 x^{2} + 1404 x + 900 x^{2} - 800 x + 156$

Étape 9.18

Soustrayez $21600 x^{3}$ de $4212 x^{3}$ .

$24300 x^{5} + 2700 x^{4} - 17388 x^{3} + 4212 x^{2} + 8100 x^{3} - 7200 x^{2} + 1404 x + 900 x^{2} - 800 x + 156$

Étape 9.19

Additionnez $- 17388 x^{3}$ et $8100 x^{3}$ .

$24300 x^{5} + 2700 x^{4} - 9288 x^{3} + 4212 x^{2} - 7200 x^{2} + 1404 x + 900 x^{2} - 800 x + 156$

Étape 9.20

Soustrayez $7200 x^{2}$ de $4212 x^{2}$ .

$24300 x^{5} + 2700 x^{4} - 9288 x^{3} - 2988 x^{2} + 1404 x + 900 x^{2} - 800 x + 156$

Étape 9.21

Additionnez $- 2988 x^{2}$ et $900 x^{2}$ .

$24300 x^{5} + 2700 x^{4} - 9288 x^{3} - 2088 x^{2} + 1404 x - 800 x + 156$

Étape 9.22

Soustrayez $800 x$ de $1404 x$ .

$24300 x^{5} + 2700 x^{4} - 9288 x^{3} - 2088 x^{2} + 604 x + 156$