Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{4 \sqrt{x}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})$

Étape 1

Multipliez $\frac{1}{4 \sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

Étape 2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Multipliez $\frac{1}{4 \sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 \sqrt{x} \sqrt{x}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

Étape 2.1.2

Déplacez $\sqrt{x}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 (\sqrt{x} \sqrt{x})} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

Étape 2.1.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

Étape 2.1.4

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

Étape 2.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

Étape 2.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 {\sqrt{x}}^{2}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

Étape 2.1.7

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

Étape 2.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

Étape 2.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x^{\frac{2}{2}}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

Étape 2.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x^{\frac{2}{2}}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

Étape 2.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x^{1}} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

Étape 2.1.7.5

Simplifiez

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}})]$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{1}{x \sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})]$

Étape 2.2.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{x \sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x \sqrt{x} \sqrt{x}})]$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $\sqrt{x}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x (\sqrt{x} \sqrt{x})})]$

Étape 2.2.2.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})})]$

Étape 2.2.2.4

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})})]$

Étape 2.2.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x {\sqrt{x}}^{1 + 1}})]$

Étape 2.2.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x {\sqrt{x}}^{2}})]$

Étape 2.2.2.7

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})]$

Étape 2.2.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x \cdot x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})]$

Étape 2.2.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x \cdot x^{\frac{2}{2}}})]$

Étape 2.2.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x \cdot x^{\frac{2}{2}}})]$

Étape 2.2.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x \cdot x^{1}})]$

Étape 2.2.2.7.5

Simplifiez

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x \cdot x})]$

Étape 2.2.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{x}}{4 x} \cdot (1 + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})]$

Étape 3

Comme $\frac{\sqrt{x}}{4 x} (1 + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{\sqrt{x}}{4 x} (1 + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}})$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$