Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \frac{3 - \sqrt{5 x - 1}}{x - 2}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2} 3 - \sqrt{5 x - 1}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 - lim_{x \to 2} \sqrt{5 x - 1}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{3 - lim_{x \to 2} \sqrt{5 x - 1}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 2} 5 x - 1}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 2} 5 x - lim_{x \to 2} 1}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.2.1.5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 - \sqrt{5 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.2.1.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{3 - \sqrt{5 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{3 - \sqrt{5 \cdot 2 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{3 - \sqrt{10 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{10 - 1}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Soustrayez $1$ de $10$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.2.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 2} \frac{3 - \sqrt{5 x - 1}}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{5 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{5 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - \sqrt{5 x - 1}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x - 1}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x - 1}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x - 1}$ comme ${(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 5 x - 1$ .

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Étape 1.3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x - 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x - 1])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 1])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x - 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x - 1])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.4.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.13

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.14

Additionnez $5$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(5 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.15

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(5 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{{(5 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.16

Associez $\frac{{(5 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{{(5 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.17

Déplacez $5$ à gauche de ${(5 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{5 \cdot {(5 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.4.18

Placez ${(5 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{5}{2 {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.5

Soustrayez $\frac{5}{2 {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \frac{5}{2 {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \frac{5}{2 {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \frac{5}{2 {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \frac{5}{2 {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \frac{5}{2 {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 2} - \frac{5}{2 {(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 1.5

Réécrivez ${(5 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{5 x - 1}$ .

$lim_{x \to 2} - \frac{5}{2 \sqrt{5 x - 1}} \cdot 1$

Étape 1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} - \frac{5}{2 \sqrt{5 x - 1}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 2} \frac{5}{2 \sqrt{5 x - 1}}$

Étape 2.2

Placez le terme $\frac{5}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{5}{2} lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{5 x - 1}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \sqrt{5 x - 1}}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 2} \sqrt{5 x - 1}}$

Étape 2.5

Placez la limite sous le radical.

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 5 x - 1}}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 5 x - lim_{x \to 2} 1}}$

Étape 2.7

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1}}$

Étape 2.8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 2 - 1 \cdot 1}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10 - 1 \cdot 1}}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{10 - 1}}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $1$ de $10$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 4.2

Multipliez $- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{5}{2}$ .

$- \frac{5}{3 \cdot 2}$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{5}{6}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{5}{6}$

Forme décimale :

$- 0.8\overline{3}$