Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arctan (\frac{x}{6})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{x}{6}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{6}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} (\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}}$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})}$ par $1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{6}$ .

$\frac{1}{6 (1 + \frac{x^{2}}{6^{2}})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}}$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}}$

Étape 3.3.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{36}}$

Étape 3.3.3

Associez $6$ et $\frac{x^{2}}{36}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{36}}$

Étape 3.3.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $36$ .

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Étape 3.3.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{6 (x^{2})}{36}}$

Étape 3.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.4.2.1

Factorisez $6$ à partir de $36$ .

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 6}}$

Étape 3.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 6}}$

Étape 3.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{6} + 6}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{6} + 6 \cdot \frac{6}{6}}$

Étape 3.5.2

Associez $6$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{6} + \frac{6 \cdot 6}{6}}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 6 \cdot 6}{6}}$

Étape 3.5.4

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 36}{6}}$

Étape 3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{6}{x^{2} + 36}$

Étape 3.7

Multipliez $\frac{6}{x^{2} + 36}$ par $1$ .

$\frac{6}{x^{2} + 36}$