Calcul infinitésimal Exemples

$y = 7 \sin^{3} (3 x + 4)$

Étape 1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 \sin^{3} (3 x + 4)$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (3 x + 4)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (3 x + 4)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (3 x + 4)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (3 x + 4)$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x + 4)])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$7 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x + 4)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (3 x + 4)$ .

$7 (3 \sin^{2} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [\sin (3 x + 4)])$

Étape 3

Multipliez $3$ par $7$ .

$21 (\sin^{2} (3 x + 4) \frac{d}{d x} [\sin (3 x + 4)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x + 4$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x + 4$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

Étape 4.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x + 4$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) (\cos (3 x + 4) \frac{d}{d x} [3 x + 4])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) \cos (3 x + 4) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) \cos (3 x + 4) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) \cos (3 x + 4) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 5.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) \cos (3 x + 4) (3 + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 5.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) \cos (3 x + 4) (3 + 0)$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$21 \sin^{2} (3 x + 4) \cos (3 x + 4) \cdot 3$

Étape 5.6.2

Multipliez $3$ par $21$ .

$63 \sin^{2} (3 x + 4) \cos (3 x + 4)$