Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\arctan (3 x^{4}))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \arctan (3 x^{4})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\arctan (3 x^{4})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\arctan (3 x^{4})$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 3 x^{4}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + {(3 x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + {(3 (x^{4}))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Étape 3.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 (x^{4})$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 3^{2} {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Étape 3.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 9 {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Étape 3.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 9 x^{4 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Étape 3.2.2

Multipliez $\frac{1}{1 + 9 x^{8}}$ par $\frac{1}{\arctan (3 x^{4})}$ .

$\frac{1}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.4

Associez $3$ et $\frac{1}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$ .

$\frac{3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} (4 x^{3})$

Étape 3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.1

Associez $4$ et $\frac{3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} x^{3}$

Étape 3.6.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} x^{3}$

Étape 3.6.3

Associez $\frac{12}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$ et $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 x^{3}}{1 \arctan (3 x^{4}) + 9 x^{8} \arctan (3 x^{4})}$

Étape 4.2

Multipliez $\arctan (3 x^{4})$ par $1$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) + 9 x^{8} \arctan (3 x^{4})}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{12 x^{3}}{9 x^{8} \arctan (3 x^{4}) + \arctan (3 x^{4})}$

Étape 4.4

Factorisez $\arctan (3 x^{4})$ à partir de $9 x^{8} \arctan (3 x^{4}) + \arctan (3 x^{4})$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $\arctan (3 x^{4})$ à partir de $9 x^{8} \arctan (3 x^{4})$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8}) + \arctan (3 x^{4})}$

Étape 4.4.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8}) + \arctan (3 x^{4}) \cdot 1}$

Étape 4.4.3

Factorisez $\arctan (3 x^{4})$ à partir de $\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8}) + \arctan (3 x^{4}) \cdot 1$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8} + 1)}$