Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\sqrt[3]{3 x})$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{3 x}$ comme ${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 x)}^{\frac{1}{3}})]$

Étape 1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 (x))}^{\frac{1}{3}})]$

Étape 1.3

Appliquez la règle de produit à $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $3^{\frac{1}{3}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} (3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Associez $3^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{1}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 10

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 11.2

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.1

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.1

Déplacez $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

Étape 12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Étape 12.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Étape 12.1.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}}}$

Étape 12.1.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{3 x^{1}}$

Étape 12.2

Simplifiez $3 x^{1}$ .

$\frac{1}{3 x}$