Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\ln (\cos (x)))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 4

Associez $\sec (x)$ et $\frac{1}{\ln (\cos (x))}$ .

$\frac{\sec (x)}{\ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{\sec (x)}{\ln (\cos (x))} (- \sin (x))$

Étape 6

Associez $\frac{\sec (x)}{\ln (\cos (x))}$ et $\sin (x)$ .

$- \frac{\sec (x) \sin (x)}{\ln (\cos (x))}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\frac{1}{\cos (x)} \sin (x)}{\ln (\cos (x))}$

Étape 7.1.2

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$- \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\ln (\cos (x))}$

Étape 7.1.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$- \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))}$

Étape 7.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\ln (\cos (x))}$

Étape 7.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\ln (\cos (x))})$

Étape 7.4

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\ln (\cos (x))}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) \ln (\cos (x))}$

Étape 7.5

Séparez les fractions.

$- (\frac{1}{\ln (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 7.6

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$- (\frac{1}{\ln (\cos (x))} \tan (x))$

Étape 7.7

Associez $\frac{1}{\ln (\cos (x))}$ et $\tan (x)$ .

$- \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))}$