Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (\sec (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$\cos (\sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\cos (\sec (x)) (\sec (x) \tan (x))$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Étape 3.2

Associez $\cos (\sec (x))$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \tan (x)$

Étape 3.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 3.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Étape 3.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Étape 3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.5

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (\sec (x)) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 3.6

Séparez les fractions.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$

Étape 3.7

Réécrivez $\frac{\cos (\sec (x))}{\cos (x)}$ comme un produit.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 3.8

Écrivez $\cos (\sec (x))$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (\sec (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

Divisez $\cos (\sec (x))$ par $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 3.9.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (\sec (x)) \sec (x))$

Étape 3.10

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (\sec (x)) \sec (x)$