Calcul infinitésimal Exemples

$4 x^{3} - 9 x^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} - 9 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$12 x^{2} - 9 (4 x^{3})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$12 x^{2} - 36 x^{3}$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 36 x^{3} + 12 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ .

$- 36 x^{3} + 12 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 36 x^{3} + 12 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 36 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $- 12 x^{2}$ à partir de $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 12 x^{2}$ à partir de $- 36 x^{3}$ .

$- 12 x^{2} (3 x) + 12 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $- 12 x^{2}$ à partir de $12 x^{2}$ .

$- 12 x^{2} (3 x) - 12 x^{2} \cdot - 1 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $- 12 x^{2}$ à partir de $- 12 x^{2} (3 x) - 12 x^{2} (- 1)$ .

$- 12 x^{2} (3 x - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 12 x^{2} (3 x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{1}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $4 x^{3} - 9 x^{4}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{4}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{4}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 - 9 {(0)}^{4}$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 9 \cdot 0$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{3}$ .

$4 {(\frac{1}{3})}^{3} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$4 \frac{1^{3}}{3^{3}} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \frac{1}{3^{3}} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$4 (\frac{1}{27}) - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.4

Associez $4$ et $\frac{1}{27}$ .

$\frac{4}{27} - 9 {(\frac{1}{3})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{27} - 9 \frac{1^{4}}{3^{4}}$

Étape 4.2.2.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4}{27} - 9 \frac{1}{3^{4}}$

Étape 4.2.2.1.7

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{4}{27} - 9 (\frac{1}{81})$

Étape 4.2.2.1.8

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.2.2.1.8.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$\frac{4}{27} + 9 (- 1) \frac{1}{81}$

Étape 4.2.2.1.8.2

Factorisez $9$ à partir de $81$ .

$\frac{4}{27} + 9 \cdot - 1 \frac{1}{9 \cdot 9}$

Étape 4.2.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{27} + 9 \cdot - 1 \frac{1}{9 \cdot 9}$

Étape 4.2.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{27} - 1 (\frac{1}{9})$

Étape 4.2.2.1.9

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{9})$ comme $- (\frac{1}{9})$ .

$\frac{4}{27} - \frac{1}{9}$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{27} - \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{27} - \frac{3}{9 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{4}{27} - \frac{3}{27}$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 3}{27}$

Étape 4.2.2.5

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{1}{27}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (\frac{1}{3}, \frac{1}{27})$

Étape 5