Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{e^{2 x + 3}}{{(4 x - 1)}^{3}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{2 x + 3}$ et $g (x) = {(4 x - 1)}^{3}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x + 3}] - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{({(4 x - 1)}^{3})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${({(4 x - 1)}^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x + 3}] - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x + 3}] - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x + 3$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x + 3$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x + 3$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} (e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 4.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 + \frac{d}{d x} [3]) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 4.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} (2 + 0) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} \cdot 2 - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 4.6.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3}$ .

$\frac{2 \cdot ({(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3}) - e^{2 x + 3} \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{3}]}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 4 x - 1$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x - 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - e^{2 x + 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - e^{2 x + 3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x - 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - e^{2 x + 3} (3 {(4 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 6.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 6.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 6.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} (4 + 0))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 6.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.7.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} ({(4 x - 1)}^{2} \cdot 4)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 6.7.2

Déplacez $4$ à gauche de ${(4 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 3 e^{2 x + 3} (4 \cdot {(4 x - 1)}^{2})}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 6.7.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Factorisez $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ à partir de $2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3} - 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ à partir de $2 {(4 x - 1)}^{3} e^{2 x + 3}$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1) - 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 7.1.1.2

Factorisez $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ à partir de $- 12 e^{2 x + 3} {(4 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1) + 2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (- 6)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 7.1.1.3

Factorisez $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3}$ à partir de $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1) + 2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (- 6)$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 1 - 6)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 7.1.2

Soustrayez $6$ de $- 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 7)}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à ${(4 x - 1)}^{2}$ et ${(4 x - 1)}^{6}$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez ${(4 x - 1)}^{2}$ à partir de $2 {(4 x - 1)}^{2} e^{2 x + 3} (4 x - 7)$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} (2 e^{2 x + 3} (4 x - 7))}{{(4 x - 1)}^{6}}$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez ${(4 x - 1)}^{2}$ à partir de ${(4 x - 1)}^{6}$ .

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} (2 e^{2 x + 3} (4 x - 7))}{{(4 x - 1)}^{2} {(4 x - 1)}^{4}}$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(4 x - 1)}^{2} (2 e^{2 x + 3} (4 x - 7))}{{(4 x - 1)}^{2} {(4 x - 1)}^{4}}$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 e^{2 x + 3} (4 x - 7)}{{(4 x - 1)}^{4}}$