Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2} - 2 a x + a^{2}}{x - a}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 2 a x + a^{2}$ et $g (x) = x - a$ .

$\frac{(x - a) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 a x + a^{2}] - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 a x + a^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]$ .

$\frac{(x - a) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 a x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x - a) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 a x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 2 a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 a x$ par rapport à $x$ est $- 2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a + \frac{d}{d x} [a^{2}]) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $a^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a + 0) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $2 x - 2 a$ et $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \frac{d}{d x} [x - a]}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - a$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a])}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- a])}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 2.10

Comme $- a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) (1 + 0)}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \cdot 1}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - (x^{2} - 2 a x + a^{2})}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - a) (2 x - 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Développez $(x - a) (2 x - 2 a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x - 2 a) - a (2 x - 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x (- 2 a) - a (2 x - 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x (- 2 a) - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - a (2 x) - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 1 \cdot 2 a x - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - a (- 2 a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - 1 \cdot - 2 a \cdot a - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.7

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.1.7.1

Déplacez $a$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - 1 \cdot - 2 (a \cdot a) - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.7.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x - 1 \cdot - 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x a - 2 a x + 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Soustrayez $2 a x$ de $- 2 x a$ .

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Étape 3.2.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 a x - 2 a x + 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2.2

Soustrayez $2 a x$ de $- 2 a x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 a x + 2 a^{2} - x^{2} - (- 2 a x) - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 a x + 2 a^{2} - x^{2} + 2 a x - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 a x + 2 a^{2} + 2 a x - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Additionnez $- 4 a x$ et $2 a x$ .

$\frac{x^{2} + 2 a^{2} - 2 a x - a^{2}}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Soustrayez $a^{2}$ de $2 a^{2}$ .

$\frac{x^{2} + a^{2} - 2 a x}{{(x - a)}^{2}}$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a^{2} + x^{2} - 2 a x}{{(- a + x)}^{2}}$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.4.1

Réorganisez les termes.

$\frac{a^{2} - 2 a x + x^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 a x = 2 \cdot a \cdot x$

Étape 3.4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot x + x^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Étape 3.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = x$ .

$\frac{{(a - x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à ${(a - x)}^{2}$ et ${(- a + x)}^{2}$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $a$ .

$\frac{{(- 1 (- a) - x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{{(- 1 (- a) - (x))}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- a) - (x)$ .

$\frac{{(- 1 (- a + x))}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Étape 3.5.4

Appliquez la règle de produit à $- 1 (- a + x)$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Étape 3.5.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 {(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Étape 3.5.6

Multipliez ${(- a + x)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{{(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Étape 3.5.7

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(- a + x)}^{2}}{{(- a + x)}^{2}}$

Étape 3.5.8

Réécrivez l’expression.

$1$