Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{5 x + 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{5 x + 1}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 3}{5 x + 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x - 3$ et $g (x) = 5 x + 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{(5 x + 1) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $5 x + 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 \cdot (5 x + 1) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.10

Multipliez $5$ par $1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) (5 + 0)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.12

Associez les fractions.

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Étape 3.12.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - (2 x - 3) \cdot 5}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.12.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$4 {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3} \frac{2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.12.3

Associez $\frac{2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}}$ et $4$ .

$\frac{(2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)) \cdot 4}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3}$

Étape 3.12.4

Déplacez $4$ à gauche de $2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3)$ .

$\frac{4 \cdot (2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3))}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{2 x - 3}{5 x + 1})}^{3}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 x - 3}{5 x + 1}$ .

$\frac{4 (2 (5 x + 1) - 5 (2 x - 3))}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (2 (5 x) + 2 \cdot 1 - 5 (2 x - 3))}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (2 (5 x) + 2 \cdot 1 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (2 (5 x)) + 4 (2 \cdot 1) + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Étape 4.5

Associez des termes.

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Étape 4.5.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{4 (10 x) + 4 (2 \cdot 1) + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Étape 4.5.2

Multipliez $10$ par $4$ .

$\frac{40 x + 4 (2 \cdot 1) + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Étape 4.5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{40 x + 4 \cdot 2 + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Étape 4.5.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{40 x + 8 + 4 (- 5 (2 x)) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Étape 4.5.5

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$\frac{40 x + 8 + 4 (- 10 x) + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Étape 4.5.6

Multipliez $- 10$ par $4$ .

$\frac{40 x + 8 - 40 x + 4 (- 5 \cdot - 3)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Étape 4.5.7

Multipliez $- 5$ par $- 3$ .

$\frac{40 x + 8 - 40 x + 4 \cdot 15}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Étape 4.5.8

Multipliez $4$ par $15$ .

$\frac{40 x + 8 - 40 x + 60}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Étape 4.5.9

Soustrayez $40 x$ de $40 x$ .

$\frac{0 + 8 + 60}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Étape 4.5.10

Additionnez $0$ et $8$ .

$\frac{8 + 60}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Étape 4.5.11

Additionnez $8$ et $60$ .

$\frac{68}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$

Étape 4.5.12

Multipliez $\frac{68}{{(5 x + 1)}^{2}}$ par $\frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{68 {(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{2} {(5 x + 1)}^{3}}$

Étape 4.5.13

Multipliez ${(5 x + 1)}^{2}$ par ${(5 x + 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{68 {(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{2 + 3}}$

Étape 4.5.13.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{68 {(2 x - 3)}^{3}}{{(5 x + 1)}^{5}}$