Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(1 + x^{2})}^{\sin (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 + x^{2})}^{\sin (x)}$ comme $e^{\ln ({(1 + x^{2})}^{\sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + x^{2})}^{\sin (x)})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(1 + x^{2})}^{\sin (x)})$ en déplaçant $\sin (x)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \sin (x) \ln (1 + x^{2})$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (x) \ln (1 + x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (1 + x^{2})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (1 + x^{2})]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (x) \ln (1 + x^{2})$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (1 + x^{2})]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \ln (1 + x^{2})$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\sin (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x^{2}$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\sin (x) (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{1 + x^{2}}$ et $\sin (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 5.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 5.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}} (2 x) + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 5.6

Associez les fractions.

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Étape 5.6.1

Associez $2$ et $\frac{\sin (x)}{1 + x^{2}}$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{2 \sin (x)}{1 + x^{2}} x + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 5.6.2

Associez $\frac{2 \sin (x)}{1 + x^{2}}$ et $x$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{2 \sin (x) x}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 6

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{2 \sin (x) x}{1 + x^{2}} + \ln (1 + x^{2}) \cos (x))$

Étape 7

Pour écrire $\ln (1 + x^{2}) \cos (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\frac{2 \sin (x) x}{1 + x^{2}} + \frac{\ln (1 + x^{2}) \cos (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \frac{2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Étape 9

Associez $e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})}$ et $\frac{2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) \cdot 1 + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2})}{1 + x^{2}}$

Étape 10.1.1.2

Multipliez $\ln (1 + x^{2})$ par $1$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (2 \sin (x) x + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) + \ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2})}{1 + x^{2}}$

Étape 10.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (2 \sin (x) x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\ln (1 + x^{2}) \cos (x)) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} (\ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2})}{1 + x^{2}}$

Étape 10.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \sin (x) x + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 10.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \sin (x) x + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) x^{2}$ .

$\frac{2 x e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \sin (x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x) + x^{2} e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \ln (1 + x^{2}) \cos (x)}{1 + x^{2}}$

Étape 10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} x \sin (x) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} \cos (x) \ln (1 + x^{2}) + e^{\sin (x) \ln (1 + x^{2})} x^{2} \cos (x) \ln (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$