Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 x^{5} - 7 x^{4} + 6}{x^{3}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x^{5} - 7 x^{4} + 6$ et $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 x^{4} + 6] - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 x^{4} + 6] - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 x^{4} + 6] - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 7 x^{4} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{x^{3} (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.5

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.6

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.8

Multipliez $4$ par $- 7$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3} + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.9

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3} + 0) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.10

Additionnez $15 x^{4} - 28 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3}) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3}) - (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Étape 2.12

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.12.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 2.12.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) x^{2}$ .

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Étape 2.12.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} (15 x^{4} - 28 x^{3})$ .

$\frac{x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3})) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 2.12.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3})) + x^{2} (- 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6))}{x^{6}}$

Étape 2.12.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3})) + x^{2} (- 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6))$ .

$\frac{x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6))}{x^{6}}$

Étape 3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (15 x^{4} - 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6)}{x^{4}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (15 x^{4}) + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5} - 7 x^{4} + 6)}{x^{4}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (15 x^{4}) + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{15 x \cdot x^{4} + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$\frac{15 (x^{4} x) + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 4.3.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 (x^{4} x^{1}) + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Étape 4.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 x^{4 + 1} + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Étape 4.3.1.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{15 x^{5} + x (- 28 x^{3}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Étape 4.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{15 x^{5} - 28 x \cdot x^{3} - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{15 x^{5} - 28 (x^{3} x) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Étape 4.3.1.4.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 4.3.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 x^{5} - 28 (x^{3} x^{1}) - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Étape 4.3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 x^{5} - 28 x^{3 + 1} - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Étape 4.3.1.4.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{15 x^{5} - 28 x^{4} - 3 (3 x^{5}) - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Étape 4.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{15 x^{5} - 28 x^{4} - 9 x^{5} - 3 (- 7 x^{4}) - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Étape 4.3.1.6

Multipliez $- 7$ par $- 3$ .

$\frac{15 x^{5} - 28 x^{4} - 9 x^{5} + 21 x^{4} - 3 \cdot 6}{x^{4}}$

Étape 4.3.1.7

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$\frac{15 x^{5} - 28 x^{4} - 9 x^{5} + 21 x^{4} - 18}{x^{4}}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $9 x^{5}$ de $15 x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5} - 28 x^{4} + 21 x^{4} - 18}{x^{4}}$

Étape 4.3.3

Additionnez $- 28 x^{4}$ et $21 x^{4}$ .

$\frac{6 x^{5} - 7 x^{4} - 18}{x^{4}}$