Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{3} - 2}{\sec (4 x^{2})}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3} - 2$ et $g (x) = \sec (4 x^{2})$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Étape 2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Étape 2.4

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [\sec (4 x^{2})]}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 4 x^{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x^{2}$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Étape 3.2

La dérivée de $\sec (u)$ par rapport à $u$ est $\sec (u) \tan (u)$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{2}$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\sec (4 x^{2}) \tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Étape 4

Factorisez $\sec (4 x^{2})$ à partir de $\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) - (x^{3} - 2) (\sec (4 x^{2}) \tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$ .

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Étape 4.1

Factorisez $\sec (4 x^{2})$ à partir de $- (x^{3} - 2) (\sec (4 x^{2}) \tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) + \sec (4 x^{2}) (- (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Étape 4.2

Factorisez $\sec (4 x^{2})$ à partir de $\sec (4 x^{2}) (3 x^{2}) + \sec (4 x^{2}) (- (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec^{2} (4 x^{2})}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez $\sec (4 x^{2})$ à partir de $\sec^{2} (4 x^{2})$ .

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec (4 x^{2}) \sec (4 x^{2})}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sec (4 x^{2}) (3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))}{\sec (4 x^{2}) \sec (4 x^{2})}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}])}{\sec (4 x^{2})}$

Étape 6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{2} - (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{\sec (4 x^{2})}$

Étape 7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}]))}{\sec (4 x^{2})}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 4 (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (2 x))}{\sec (4 x^{2})}$

Étape 9

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 (x^{3} - 2) (\tan (4 x^{2}) (x))}{\sec (4 x^{2})}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + (- 8 x^{3} - 8 \cdot - 2) (\tan (4 x^{2}) (x))}{\sec (4 x^{2})}$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{3} (\tan (4 x^{2}) x) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Étape 10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 (x \cdot x^{3}) \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Étape 10.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 10.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 (x^{1} x^{3}) \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Étape 10.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{1 + 3} \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Étape 10.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) - 8 \cdot - 2 (\tan (4 x^{2}) x)}{\sec (4 x^{2})}$

Étape 10.3.1.2

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) + 16 \tan (4 x^{2}) x}{\sec (4 x^{2})}$

Étape 10.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) + 16 \tan (4 x^{2}) x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x^{4} \tan (4 x^{2}) + 16 x \tan (4 x^{2})}{\sec (4 x^{2})}$