Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})]$ .

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Étape 2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4} \cdot e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Étape 2.2

Associez $\frac{x}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x e^{4 x}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Étape 2.3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x e^{4 x}}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{4 x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Étape 2.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Étape 2.9

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (x (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Étape 2.10

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 \cdot e^{4 x}) + e^{4 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Étape 2.11

Multipliez $e^{4 x}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- \frac{1}{16}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{16} \cdot e^{4 x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Étape 3.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (e^{4 x} \cdot 4)$

Étape 3.6

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{1}{16} (4 \cdot e^{4 x})$

Étape 3.7

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - 4 (\frac{1}{16}) e^{4 x}$

Étape 3.8

Associez $- 4$ et $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- 4}{16} e^{4 x}$

Étape 3.9

Associez $\frac{- 4}{16}$ et $e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- 4 e^{4 x}}{16}$

Étape 3.10

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $16$ .

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Étape 3.10.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{16}$

Étape 3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.10.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{4 (4)}$

Étape 3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{4 (- e^{4 x})}{4 \cdot 4}$

Étape 3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) + \frac{- e^{4 x}}{4}$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{4}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} (x (4 e^{4 x})) + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x}{4} (4 e^{4 x}) + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.2

Associez $4$ et $\frac{x}{4}$ .

$\frac{4 x}{4} e^{4 x} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{4 x}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$\frac{4 x e^{4 x}}{4} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x e^{4 x}}{4} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.4.2

Divisez $x e^{4 x}$ par $1$ .

$x e^{4 x} + \frac{1}{4} e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.5

Pour écrire $x e^{4 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} + x e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.6

Associez $x e^{4 x}$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{x e^{4 x} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{x e^{4 x} \cdot 4 - e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.8

Déplacez $4$ à gauche de $x e^{4 x}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{4 \cdot (x e^{4 x}) - e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} e^{4 x} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.10

Pour écrire $\frac{1}{4} e^{4 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.11

Associez $\frac{1}{4} e^{4 x}$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot 4}{4} + \frac{4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1}{4} e^{4 x} \cdot 4 + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.13

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{e^{4 x}}{4} \cdot 4 + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.14

Associez $\frac{e^{4 x}}{4}$ et $4$ .

$\frac{\frac{e^{4 x} \cdot 4}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.15

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot e^{4 x}}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.16

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.16.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{4 e^{4 x}}{4} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.16.2

Divisez $e^{4 x}$ par $1$ .

$\frac{e^{4 x} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{4}$

Étape 4.2.17

Soustrayez $e^{4 x}$ de $e^{4 x}$ .

$\frac{4 e^{4 x} x + 0}{4}$

Étape 4.2.18

Additionnez $4 e^{4 x} x$ et $0$ .

$\frac{4 e^{4 x} x}{4}$

Étape 4.2.19

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.19.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 e^{4 x} x}{4}$

Étape 4.2.19.2

Divisez $e^{4 x} x$ par $1$ .

$e^{4 x} x$

Étape 4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{4 x} x$ .

$x e^{4 x}$