Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 x - \tan (x)}{x \sec (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x - \tan (x)$ et $g (x) = x \sec (x)$ .

$\frac{x \sec (x) \frac{d}{d x} [3 x - \tan (x)] - (3 x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]}{{(x \sec (x))}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{x \sec (x) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) - (3 x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]}{{(x \sec (x))}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x \sec (x) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) - (3 x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]}{{(x \sec (x))}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x \sec (x) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) - (3 x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]}{{(x \sec (x))}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{x \sec (x) (3 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) - (3 x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]}{{(x \sec (x))}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{x \sec (x) (3 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - (3 x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]}{{(x \sec (x))}^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{x \sec (x) (3 - \sec^{2} (x)) - (3 x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [x \sec (x)]}{{(x \sec (x))}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sec (x)$ .

$\frac{x \sec (x) (3 - \sec^{2} (x)) - (3 x - \tan (x)) (x \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x])}{{(x \sec (x))}^{2}}$

Étape 5

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{x \sec (x) (3 - \sec^{2} (x)) - (3 x - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x])}{{(x \sec (x))}^{2}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x \sec (x) (3 - \sec^{2} (x)) - (3 x - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \cdot 1)}{{(x \sec (x))}^{2}}$

Étape 6.2

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$\frac{x \sec (x) (3 - \sec^{2} (x)) - (3 x - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{{(x \sec (x))}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Appliquez la règle de produit à $x \sec (x)$ .

$\frac{x \sec (x) (3 - \sec^{2} (x)) - (3 x - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \sec (x) \cdot 3 + x \sec (x) (- \sec^{2} (x)) - (3 x - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \sec (x) \cdot 3 + x \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (- (3 x) - - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.1

Déplacez $3$ à gauche de $x \sec (x)$ .

$\frac{3 \cdot (x \sec (x)) + x \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (- (3 x) - - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec (x) \sec^{2} (x) + (- (3 x) - - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.3

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.3.1

Déplacez $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{3 x \sec (x) - x (\sec^{2} (x) \sec (x)) + (- (3 x) - - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.3.2

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.3.2.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x \sec (x) - x (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + (- (3 x) - - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x \sec (x) - x {\sec (x)}^{2 + 1} + (- (3 x) - - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) + (- (3 x) - - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.4.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) + (- 3 x - - \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.4.2

Multipliez $- - \tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) + (- 3 x + 1 \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.4.2.2

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) + (- 3 x + \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.5

Développez $(- 3 x + \tan (x)) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x)) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x (x (\sec (x) \tan (x))) - 3 x \sec (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x (x (\sec (x) \tan (x))) - 3 x \sec (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x))) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.6.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.6.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 (x \cdot x) (\sec (x) \tan (x)) - 3 x \sec (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x))) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) - 3 x \sec (x) + \tan (x) (x (\sec (x) \tan (x))) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.6.2

Multipliez $\tan (x) (x (\sec (x) \tan (x)))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.6.2.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) - 3 x \sec (x) + x (\sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.6.2.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) - 3 x \sec (x) + x (\sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) - 3 x \sec (x) + x (\sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.1.6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) - 3 x \sec (x) + x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.2

Associez les termes opposés dans $3 x \sec (x) - x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) - 3 x \sec (x) + x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + \tan (x) \sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.1

Soustrayez $3 x \sec (x)$ de $3 x \sec (x)$ .

$\frac{- x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + 0 + x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.2.2

Additionnez $- x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x))$ et $0$ .

$\frac{- x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- x \sec^{3} (x) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + \tan (x) \sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.3.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- x \sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- x \sec^{2} (x)) - 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.3.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- 3 x^{2} (\sec (x) \tan (x))$ .

$\frac{\sec (x) (- x \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- 3 x^{2} (\tan (x))) + x (\sec (x) \tan^{2} (x)) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.3.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $x (\sec (x) \tan^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (- x \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- 3 x^{2} (\tan (x))) + \sec (x) (x (\tan^{2} (x))) + \tan (x) \sec (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.3.4

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\tan (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- x \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- 3 x^{2} (\tan (x))) + \sec (x) (x (\tan^{2} (x))) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.3.5

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (- x \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- 3 x^{2} (\tan (x)))$ .

$\frac{\sec (x) (- x \sec^{2} (x) - 3 x^{2} (\tan (x))) + \sec (x) (x (\tan^{2} (x))) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.3.6

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (- x \sec^{2} (x) - 3 x^{2} (\tan (x))) + \sec (x) (x (\tan^{2} (x)))$ .

$\frac{\sec (x) (- x \sec^{2} (x) - 3 x^{2} (\tan (x)) + x (\tan^{2} (x))) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.3.7

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (- x \sec^{2} (x) - 3 x^{2} (\tan (x)) + x (\tan^{2} (x))) + \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- x \sec^{2} (x) - 3 x^{2} (\tan (x)) + x (\tan^{2} (x)) + \tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.4

Déplacez $x (\tan^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (- x \sec^{2} (x) + x (\tan^{2} (x)) - 3 x^{2} (\tan (x)) + \tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.5

Factorisez $- x$ à partir de $- x \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- x (\sec^{2} (x)) + x (\tan^{2} (x)) - 3 x^{2} (\tan (x)) + \tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.6

Factorisez $- x$ à partir de $x (\tan^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (- x (\sec^{2} (x)) - x (- 1 \tan^{2} (x)) - 3 x^{2} (\tan (x)) + \tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.7

Factorisez $- x$ à partir de $- x (\sec^{2} (x)) - x (- 1 \tan^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (- x (\sec^{2} (x) - 1 \tan^{2} (x)) - 3 x^{2} (\tan (x)) + \tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sec (x) (- x \cdot 1 - 3 x^{2} (\tan (x)) + \tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sec (x) (- x - 3 x^{2} (\tan (x)) + \tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sec (x) (- x) + \sec (x) (- 3 x^{2} (\tan (x))) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.11.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- \sec (x) x + \sec (x) (- 3 x^{2} (\tan (x))) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.11.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- \sec (x) x - 3 \sec (x) x^{2} \tan (x) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.4.12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \sec (x) x - 3 \sec (x) x^{2} \tan (x) + \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{- x \sec (x) - 3 x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.5

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- x \sec (x) - 3 x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- x \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- x) - 3 x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.5.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- 3 x^{2} \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- x) + \sec (x) (- 3 x^{2} \tan (x)) + \sec (x) \tan (x)}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.5.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- x) + \sec (x) (- 3 x^{2} \tan (x)) + \sec (x) (\tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.5.4

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (- x) + \sec (x) (- 3 x^{2} \tan (x))$ .

$\frac{\sec (x) (- x - 3 x^{2} \tan (x)) + \sec (x) (\tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.5.5

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (- x - 3 x^{2} \tan (x)) + \sec (x) (\tan (x))$ .

$\frac{\sec (x) (- x - 3 x^{2} \tan (x) + \tan (x))}{x^{2} \sec^{2} (x)}$

Étape 7.6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $x^{2} \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- x - 3 x^{2} \tan (x) + \tan (x))}{\sec (x) (x^{2} \sec (x))}$

Étape 7.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sec (x) (- x - 3 x^{2} \tan (x) + \tan (x))}{\sec (x) (x^{2} \sec (x))}$

Étape 7.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x - 3 x^{2} \tan (x) + \tan (x)}{x^{2} \sec (x)}$

Étape 7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) - 3 x^{2} \tan (x) + \tan (x)}{x^{2} \sec (x)}$

Étape 7.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2} \tan (x)$ .

$\frac{- (x) - (3 x^{2} \tan (x)) + \tan (x)}{x^{2} \sec (x)}$

Étape 7.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (3 x^{2} \tan (x))$ .

$\frac{- (x + 3 x^{2} \tan (x)) + \tan (x)}{x^{2} \sec (x)}$

Étape 7.10

Factorisez $- 1$ à partir de $\tan (x)$ .

$\frac{- (x + 3 x^{2} \tan (x)) - 1 (- \tan (x))}{x^{2} \sec (x)}$

Étape 7.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x + 3 x^{2} \tan (x)) - 1 (- \tan (x))$ .

$\frac{- (x + 3 x^{2} \tan (x) - \tan (x))}{x^{2} \sec (x)}$

Étape 7.12

Réécrivez $- (x + 3 x^{2} \tan (x) - \tan (x))$ comme $- 1 (x + 3 x^{2} \tan (x) - \tan (x))$ .

$\frac{- 1 (x + 3 x^{2} \tan (x) - \tan (x))}{x^{2} \sec (x)}$

Étape 7.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + 3 x^{2} \tan (x) - \tan (x)}{x^{2} \sec (x)}$