Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})]$

Étape 3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [5 x^{- \frac{1}{2} + 2}]$

Étape 3.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}]$

Étape 3.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}]$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}]$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}]$

Étape 3.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$5 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 10

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 11

Associez $5$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 12

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}$