Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cot^{2} (\frac{1}{3 x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cot (\frac{1}{3 x})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cot (\frac{1}{3 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (\frac{1}{3 x})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (\frac{1}{3 x})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cot (\frac{1}{3 x})$ .

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\cot (\frac{1}{3 x})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = \frac{1}{3 x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{1}{3 x}$ .

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\cot (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{1}{3 x}$ .

$2 \cot (\frac{1}{3 x}) (- \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \cot (\frac{1}{3 x}) (\csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}])$

Étape 3.2

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 3.3

Associez les fractions.

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Étape 3.3.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{- 2}{3}$ et $\cot (\frac{1}{3 x})$ .

$\frac{- 2 \cot (\frac{1}{3 x})}{3} \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.3.3

Associez $\frac{- 2 \cot (\frac{1}{3 x})}{3}$ et $\csc^{2} (\frac{1}{3 x})$ .

$\frac{- 2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.3.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} (- x^{- 2})$

Étape 3.5

Associez les fractions.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} x^{- 2}$

Étape 3.5.2

Multipliez $\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3}$ par $1$ .

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3} x^{- 2}$

Étape 3.5.3

Associez $\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3}$ et $x^{- 2}$ .

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) x^{- 2}}{3}$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.4.1

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cot (\frac{1}{3 x}) \csc^{2} (\frac{1}{3 x})}{3 x^{2}}$

Étape 3.5.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 \csc^{2} (\frac{1}{3 x}) \cot (\frac{1}{3 x})}{3 x^{2}}$