Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cos (x) + \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Associez les termes opposés dans $1 \cos (x) + \sin (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Soustrayez $\sin (x) \cos (x)$ de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{1 \cos (x) + 0}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.5.2.1.2

Additionnez $1 \cos (x)$ et $0$ .

$\frac{1 \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$