Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{x} (x - 1)$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} (x - 1)$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} (x - 1))$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez.

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Étape 4.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 4.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.9

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.10

Simplifiez

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Étape 4.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.10.2

Associez des termes.

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Étape 4.10.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.10.2.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.10.2.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.10.2.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.10.2.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.10.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.10.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.10.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.10.2.3.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.10.2.4

Réécrivez $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ comme $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.10.2.5

Pour écrire $x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.10.2.6

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.10.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.10.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.10.2.9

Additionnez $2 x^{\frac{1}{2}}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$