Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{\sec (4 x)}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\sec (4 x)}$ comme ${\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (4 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (4 x)$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Étape 4.6

Associez les fractions.

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Étape 4.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Étape 4.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Étape 4.6.3

Placez ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 4.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 4.7.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 4.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 4.8

Associez les fractions.

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Étape 4.8.1

Associez $\sec (4 x)$ et $\frac{1}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec (4 x)}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 4.8.2

Associez $\tan (4 x)$ et $\frac{\sec (4 x)}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (4 x) \sec (4 x)}{2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 4.8.3

Placez ${\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\tan (4 x) \sec (4 x) {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 4.9

Multipliez $\sec (4 x)$ par ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.9.1

Déplacez ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\tan (4 x) ({\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (4 x))}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 4.9.2

Multipliez ${\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ par $\sec (4 x)$ .

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Étape 4.9.2.1

Élevez $\sec (4 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\tan (4 x) ({\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (4 x))}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 4.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 4.9.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 4.9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 4.9.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 4.10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.11

Simplifiez les termes.

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Étape 4.11.1

Associez $4$ et $\frac{\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (\tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.11.2

Factorisez $2$ à partir de $4 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.12.4

Divisez $2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 4.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.14.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.14.2

Réorganisez les facteurs de $2 \tan (4 x) {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (4 x)$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (4 x)$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 {\sec (4 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (4 x)$