Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 x - 9}{2 x^{2} + 8}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 9}{2 x^{2} + 8})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x - 9$ et $g (x) = 2 x^{2} + 8$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [2 x - 9] - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.5

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) (2 + 0) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{(2 x^{2} + 8) \cdot 2 - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $2 x^{2} + 8$ .

$\frac{2 \cdot (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 8]}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.11

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x + 0)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.12.1

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - (2 x - 9) (4 x)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.2.12.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 8) - 4 (2 x - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 - 4 (2 x - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 + (- 4 (2 x) - 4 \cdot - 9) x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 8 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.4.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot 8 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.4.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 (x \cdot x)) - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.4

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 8 x^{2} - 4 \cdot - 9 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.4.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 9$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 - 8 x^{2} + 36 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Soustrayez $8 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 16 + 36 x}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 4 x^{2} + 36 x + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.6

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} + 36 x + 16$ .

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Étape 3.3.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 36 x + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.6.2

Factorisez $4$ à partir de $36 x$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (9 x) + 16}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.6.3

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (9 x) + 4 (4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.6.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (9 x)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x) + 4 (4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} + 9 x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 x^{2} + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 8$ .

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Étape 3.3.7.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 (x^{2}) + 8)}^{2}}$

Étape 3.3.7.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 x^{2} + 2 \cdot 4)}^{2}}$

Étape 3.3.7.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 \cdot 4$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{{(2 (x^{2} + 4))}^{2}}$

Étape 3.3.7.2

Appliquez la règle de produit à $2 (x^{2} + 4)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{2^{2} {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.7.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{4 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.8

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- x^{2} + 9 x + 4)}{4 {(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 9 x + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $9 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (- 9 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 9 x)$ .

$\frac{- (x^{2} - 9 x) + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.12

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x^{2} - 9 x) - 1 (- 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 9 x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x^{2} - 9 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.14

Réécrivez $- (x^{2} - 9 x - 4)$ comme $- 1 (x^{2} - 9 x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 9 x - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 9 x - 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$