Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{5 - 7 x + 9 x^{2}}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 - 7 x + 9 x^{2}}{x^{2}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 5 - 7 x + 9 x^{2}$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - 7 x + 9 x^{2}] - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - 7 x + 9 x^{2}] - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - 7 x + 9 x^{2}] - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 7 x + 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.2.5

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (- 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (- 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.2.7

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.2.8

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + 9 (2 x)) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.2.10

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + 18 x) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + 18 x) - (5 - 7 x + 9 x^{2}) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 3.2.12

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.12.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}) x}{x^{4}}$

Étape 3.2.12.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}) x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.12.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (- 7 + 18 x)$ .

$\frac{x (x (- 7 + 18 x)) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}) x}{x^{4}}$

Étape 3.2.12.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}) x$ .

$\frac{x (x (- 7 + 18 x)) + x (- 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}))}{x^{4}}$

Étape 3.2.12.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x (- 7 + 18 x)) + x (- 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}))$ .

$\frac{x (x (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}))}{x^{4}}$

Étape 3.3

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (x (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2}))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (- 7 + 18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2})}{x^{3}}$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot - 7 + x (18 x) - 2 (5 - 7 x + 9 x^{2})}{x^{3}}$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot - 7 + x (18 x) - 2 \cdot 5 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1.1

Déplacez $- 7$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 7 \cdot x + x (18 x) - 2 \cdot 5 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Étape 3.4.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 7 x + 18 x \cdot x - 2 \cdot 5 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Étape 3.4.3.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 7 x + 18 (x \cdot x) - 2 \cdot 5 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Étape 3.4.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 7 x + 18 x^{2} - 2 \cdot 5 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Étape 3.4.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{- 7 x + 18 x^{2} - 10 - 2 (- 7 x) - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Étape 3.4.3.1.5

Multipliez $- 7$ par $- 2$ .

$\frac{- 7 x + 18 x^{2} - 10 + 14 x - 2 (9 x^{2})}{x^{3}}$

Étape 3.4.3.1.6

Multipliez $9$ par $- 2$ .

$\frac{- 7 x + 18 x^{2} - 10 + 14 x - 18 x^{2}}{x^{3}}$

Étape 3.4.3.2

Associez les termes opposés dans $- 7 x + 18 x^{2} - 10 + 14 x - 18 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.2.1

Soustrayez $18 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$\frac{- 7 x - 10 + 14 x + 0}{x^{3}}$

Étape 3.4.3.2.2

Additionnez $- 7 x - 10 + 14 x$ et $0$ .

$\frac{- 7 x - 10 + 14 x}{x^{3}}$

Étape 3.4.3.3

Additionnez $- 7 x$ et $14 x$ .

$\frac{7 x - 10}{x^{3}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{7 x - 10}{x^{3}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x - 10}{x^{3}}$